BMO 2013 Ἀγρός

#21

cretanman έγραψε:Τεράστια επιτυχία για ακόμη μία χρονιά!!! Συγχαρητήρια σε κάθε ένα παιδί ξεχωριστά:

Στον Παναγιώτη Λώλα για το Χρυσό
Στον Παναγιώτη Δημάκη για το Αργυρό
Στον Κων/νο Τσίνα για το Χάλκινο
Στον Πέτρο Ντούνη για το Χάλκινο
Στον Αθηναγόρα Σκιαδόπουλο για το Χάλκινο
Στον Βαγγέλη-Δαμιανό Λάζαρη για τη συμμετοχή του!

Αλέξανδρος

Πολλά θερμά συγχαρητήρια !!!

Και στην ΙΜΟ τώρα να είστε όλοι με μετάλλια και διακρίσεις !

Μπάμπης

Γ.-Σ. Σμυρλής · #22

Ο πίνακας των μεταλλίων:

http://paideia-news.com/content/files/55852463.pdf

#23

Θα μπορούσαμε να έχουμε τις αναλυτικές βαθμολογίες των μαθητών;

Alex1994 · #24

Δεν νομίζω ότι θα ανακοινωθούν αναλυτικά όλες οι βαθμολογίες, πάντως οι βαθμολογίες της ομάδας είναι 31 (Λώλας), 21 (Δημάκης), 12 (Τσίνας), 11 (Ντούνης), 8 (Σκιαδόπουλος), 6 (Λάζαρης).
Η υψηλότερη βαθμολογία του διαγωνισμού ήταν 36/40, τα cutoffs ήταν 31/21/8. Όσον αφορά την βαθμολογία στο κάθε θέμα θα πρέπει να ρωτήσουμε τους ίδιους.

#25

Αλέξανδρε τα ήξερα και γω αυτά αλλά θα με ενδιέφερε η βαθμολογία ανά πρόβλημα γενικά όχι μόνο για την ομάδα μας.
Πρώτη φορά βλέπω να γίνεται αυτό με τις βαθμολογίες σε Βαλκανιάδα.

#26

Πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που πήραν μέρος στον διαγωνισμό και ένα μεγάλο μπράβο σε όσους διακρίθηκαν.

Χάρης Τσαμπασίδης · #27

Συγχαρητήρια για την ομάδα. Εύχομαι 6 μετάλλια για την ΙΜΟ!

Γ.-Σ. Σμυρλής · #28

Παραλειπόμενα:

1. Στό 4ο πρόβλημα διδόταν 1 μονάδα, ἄν ὁ διαγωνιζόμενος διαπίστωνε ὅτι στό γράφημα δύο κορυφές ἑνώνονται ἄν δέν ἀντιστοιχοῦν σέ φίλους. Ἀπό αὐτούς πού πῆραν χρυσό,μόνο οἱ 4 Ρουμάνοι καί ὁ Σέρβος πῆραν πέραν τῆς μίας μονάδας στό 4ο θέμα! Ὡστόσο, ὅλοι ὅσοι πῆραν χρυσό, μάζεψαν 30 μονάδες ἀπό τα πρῶτα τρία θέματα. (Τόν τρόπο βαθμολόγησης τόν καθορίζει ἡ διοργανώτρια χώρα.)

2. Τό 1ο θέμα ἦταν ἄμεσο πόρισμα θεωρήματος πού ὑπῆρχε σέ Ρουμανικό βιβλίο Γεωμετρίας πού διδάσκεται στό Ἀζερμπαϊτσάν καί Τουρκμενιστάν, στά σχολεῖα προετοιμασίας Ὀλυμπιάδων. Μερικοί διαγωνιζόμενοι τῶν χωρῶν αὐτῶν ἔλυσαν τήν ἄσκηση ἐπικαλούμενοι τό προαναφερθέν θεώρημα (χωρίς νά τό ἀποδεικνύουν). Ζήτησαν 10 μονάδες ἀπό τό jury ἀλλά ἔλαβαν δυο!

3. Πολύ καλά τά πῆγε καί τό Ἡνωμένο Βασίλειο (ἐκτός συναγωνισμοῦ), ἀλλά ἐκπροσωπήθηκε κυρίως ἀπό κινέζους ὑπηκόους.

4. Γενικῶς, οἱ ΒΜΟ ἔχουν πολύ ὑψηλό ἐπίπεδο καθότι συμμετέχουν 3 παραδοσιακές μεγάλες δυνάμεις: Ρουμανία, Βουλγαρία καί χῶρες τῆς πρώην Γιουγκοσλαβίας (πλήν Κροατίας καί Σλοβενίας πού, μετά τήν διάσπαση, δέν θεωροῦν ὅτι εἶναι βαλκανικές). Ἡ Ἑλλάδα ἀποτελεἶ ἀνερχόμενη δύναμη, ἐνῶ σημαντική ἦταν καί ἡ ἐπιτυχία τῆς Κύπρου νά πάρει χρυσό. Κάθε χρόνο αὐξάνεται ὁ ἀριθμός τῶν χωρῶν πού συμμετέχουν ἄνευ συναγωνισμοῦ, καθότι ἡ ΒΜΟ ἀποτελεῖ γιά αὐτούς τελική πρόβα γιά τήν ΙΜΟ.

5. Ἡ ἐξέταση μετεφράσθη σέ 16 γλῶσσες (ἄν δέν κάνω λάθος). Ἡ Σερβία, τό Μαυροβούνιο καί οἱ Σέρβοι τῆς Βοσνίας μετέφρασαν διαφορετικά ὁ ἔνας ἀπό τόν ἄλλο, ἄν καί μιλοῦν τήν ἴδια γλῶσσα. Ἐλλάς καί Κύπρος μεταφράσαμε μαζί τό κοινό μας γραπτό ὅπως πάντα. Κάποιες χῶρες ζήτησαν μέχρι καί τρεῖς μεταφράσεις. Π.χ. τό Τατζικιστάν ἤθελε Τατζίκ, Ρωσικά καί Ἀγγλικά!

6. Ὅλοι χρησιμοποίησαν LaTeX πλήν τῆς Ἀλβανικῆς ὁμάδας.

7. Τοῦ χρόνου ἡ 31η ΒΜΟ θα πραγματοποιηθεῖ στήν Βουλγαρία. Σημειωτέον ὅτι φέτος ἐπρόκειτο ἡ ΒΜΟ νά λάβει χώρα στήν Ἀλβανία, ἀλλά ματαιώθηκε ἐπειδή οἱ Ἀλβανοί ἐπέμεναν νά καλέσουν τό Κόσσοβο ὡς ἀνεξάρτητη χώρα!

#29

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Παραλειπόμενα:

.............................

2. Τό 1ο θέμα ἦταν ἄμεσο πόρισμα θεωρήματος πού ὑπῆρχε σέ Ρουμανικό βιβλίο Γεωμετρίας πού διδάσκεται στό Ἀζερμπαϊτσάν καί Τουρκμενιστάν, στά σχολεῖα προετοιμασίας Ὀλυμπιάδων. Μερικοί διαγωνιζόμενοι τῶν χωρῶν αὐτῶν ἔλυσαν τήν ἄσκηση ἐπικαλούμενοι τό προαναφερθέν θεώρημα (χωρίς νά τό ἀποδεικνύουν). Ζήτησαν 10 μονάδες ἀπό τό jury ἀλλά ἔλαβαν δυο!

....................................

Θα είχε ενδιαφέρον να μάθουμε, αν είναι εφικτό , ποιο είναι αυτό το βιβλίο, αν είναι στα Ρουμάνικα ή σε άλλη γλώσσα και κυρίως το συγγραφέα του.

Σε ευχαριστούμε για όλες αυτές τις ωραίες πληροφορίες !

Μπάμπης

#30

Πολλά συγχαρητήρια στην Ελληνική ομάδα αλλά και στον Κύπριο Ανδρέα Σταύρου για το χρυσό. Περιμένουμε ανάλογες επιτυχίες και στην ΙΜΟ.

Antonis_Z · #31

Συγχαρητήρια στα μέλη της ομάδας για την επίδοσή τους!!!

Η άσχημη λύση μου για τη γεωμετρία:

Λήμμα:Έστωσαν τρίγωνο $ABC,(AC>AB,\angle B,C>90)$ και σημεία B',C'

επί της πλευράς του

τέτοια ώστε BB'=CC'

(το

πιο κοντά στο

).Να αποδείξετε ότι AC'>AB'

.

Απόδειξη:Ορίζουμε AC=c,AB=b,BB'=CC'=x,BC=a

.
Ισχύει ότι $b^2+x^2>c^2+x^2\Leftrightarrow AC'^2+2bx\cdot cosC>AB'^2+2cx\cdot cosB$ (από νομο συνημιτόνων).
Δείχνω ότι $2bx\cdot cosC<2cx\cdot cosB$ και τέλειωσα.
Χρησιμοποιώντας πάλι το νόμο συνημιτόνων η αποδεικτέα ισοδυναμεί με b>c

,που ισχύει...

Πίσω στο πρόβλημα.
Έστω $T\equiv NM\cap PQ$ και AC=b,AB=c,BC=a

.
Εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι $AM=PB=\frac{a+b-c}{2}$ ,επομένως PM=a+b

.
Είναι επίσης προφανές ότι $\angle MPT=90-\frac{A}{2},\angle PMT=90-frac{B}{2}$ .Ξέρωντας,λοιπό όλες τις γωνίες και τη μια πλευρά του τριγώνου PMT

μπορώ-με νόμους ημιτόνων-να βρω και τις υπόλοιπες,δηλαδή τις TM,TP

.
Οπότε $TP^2-TM^2=(a+b)^2(\frac{cos^2\frac{b}{2}-cos^2\frac{A}{2}}{cos^2\frac{C}{2}})$ .

Ύστερα,θεωρούμε το μέσο

της

και την προβολή

του

στην

.
Τα τμήματα AB,PM

έχουν κοινό μέσο το

.Επίσης,-από το λήμμα-όποια ανισοτική σχέση και να έχουν οι CP,CM

αυτή θα έχουν και τα CB,CA

.Υποθέτω χθγ ότι CP>CM

.
Από το 2ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο CPM

λαμβάνουμε $CP^2-CM^2=2PM\cdot C'L=2C'Lc\cdot\frac{a+b}{c}=\frac{(a^2-b^2)(a+b)}{c}$ ,όπου εφαρμόσαμε το 2ο θεώρημα διαμέσων και στο ABC

.

Μετά,με λίγες πράξεις(τύποι αποτετραγωνισμού και ν.συνημιτόνων)αποδεικνύουμε πως $\frac{(a^2-b^2)(a+b)}{c}=(a+b)^2(\frac{cos^2\frac{b}{2}-cos^2\frac{A}{2}}{cos^2\frac{C}{2}})$ ,άρα-από το λήμμα καθετότητας-προκύπτει ότι $TC\perp AB$ .Το ζητούμενο τώρα είναι προφανές.

BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Μέλη σε σύνδεση