Η εξίσωση Kepler

thanasis kopadis · #1

Η εξίσωση του Kepler είναι μια τριγωνομετρική εξίσωση, που χρησιμοποιείται στην αστρονομία και υπολογίζει την έκκεντρη ανωμαλία

(σε μοίρες) αν γνωρίζουμε την εκκεντρότητα της τροχιάς

και τη μέση απόκλιση της τροχιάς

(μέση ανωμαλία).
Έχει τύπο $M+e\cdot sint=t$ ( $M\epsilon [-\pi ,\pi ]$ και 0<e<1

).

Η άσκηση
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $x-e\cdot sinx=1$ , 0<e<1

έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (-1,2)

.

Γιώργος Απόκης · #2

thanasis kopadis έγραψε:Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $x-e\cdot sinx=1$ , έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα .

Ύπαρξη

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x-e\sin x-1,~x\in[-1,2]}$ η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών.

$\displaystyle{\bullet f(-1)=1-e\sin(-1)-1=-2+e\sin 1}$

Έχουμε $\displaystyle{0<1<\frac{\pi}{2}\Rightarrow 0<\sin 1<1}$ και $\displaystyle{0<e<1}$ άρα $\displaystyle{f(-1)<0}$

$\displaystyle{\bullet f(2)=2-e\sin 2-1=1-e\sin 2}$

Έχουμε $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<2<\pi\Rightarrow 0<\sin 2<1}$ και $\displaystyle{0<e<1}$ άρα $\displaystyle{f(2)>0}$ .

Αφού $\displaystyle{f(-1)f(2)<0}$ από το θ. Bolzano, η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $\displaystyle{(-1,2)}$ .

Μοναδικότητα

Η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f'(x)=1-e\cos x\geq 0}$ . Η παράγωγος στο διάστημα $\displaystyle{(-1,2)}$ μηδενίζεται μόνο για $\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}$

άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή και $\displaystyle{1-1}$ άρα η ρίζα είναι μοναδική.

Η εξίσωση Kepler

Η εξίσωση Kepler

Re: Η εξίσωση Kepler

Μέλη σε σύνδεση