Μιγαδικοί 3 και 4

mathxl · #1

3. Έστω οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3},...,{z_\nu }$ με $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = ... = \left| {{z_\nu }} \right| = \rho > 0$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $E = \frac{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_2} + {z_3}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {{z_{\nu - 1}} + {z_\nu }} \right)\left( {{z_\nu } + {z_1}} \right)}}{{{z_1}{z_2} \cdot \cdot \cdot {z_\nu }}}$ είναι πραγματικός.

4. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
α. ${E_1} = {\left( {2 + i\sqrt 5 } \right)^7} + {\left( {2 - i\sqrt 5 } \right)^7}$ είναι πραγματικός.
β. ${E_2} = {\left( {\frac{{19 + 7i}}{{9 - i}}} \right)^\nu } + {\left( {\frac{{20 + 5i}}{{7 + 6i}}} \right)^\nu }$ είναι πραγματικός

Μιγαδικοί γ λυκείου μέχρι 9-7-2013

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

mathxl έγραψε:3. Έστω οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3},...,{z_\nu }$ με $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = ... = \left| {{z_\nu }} \right| = \rho > 0$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $E = \frac{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_2} + {z_3}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {{z_{\nu - 1}} + {z_\nu }} \right)\left( {{z_\nu } + {z_1}} \right)}}{{{z_1}{z_2} \cdot \cdot \cdot {z_\nu }}}$ είναι πραγματικός.

Για κάθε $\displaystyle{i\in\left\{1,2,3,...,\nu\right\}}$ είναι $\displaystyle{z_{i}\neq 0}$ διότι $\displaystyle{\left|z_{i}\right|\neq 0}$ .

Επίσης,

$\displaystyle{\left|z_{i}\right|=\rho\Rightarrow \left|z_{i}\right|^2=\rho^2\Rightarrow z_{i}\cdot \bar{z_{i}}=\rho^2\Rightarrow \bar{z_{i}}=\frac{\rho^2}{z_{i}}}$

Για να δείξουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{E}$ είναι παραγματικός, αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{E=\bar{E}}$ .

Πράγματι,

$\displaystyle{\begin{aligned}\bar{E}=\frac{\left(\bar{z_1}+\bar{z_2}\right)\left(\bar{z_2}+\bar{z_3}\right)\cdot \cdot \cdot \left(\bar{z_{\nu-1}}+\bar{z_{\nu}}\right)\left(\bar{z_{\nu}}+\bar{z_{1}}\right)}{\bar{z_1}\,\bar{z_2}\cdot \cdot \cdot \bar{z_{\nu}}}&=\frac{\displaystyle{\left(\frac{\rho^2}{z_1}+\frac{\rho^2}{z_2}\right)\left(\frac{\rho^2}{z_2}+\frac{\rho^2}{z_3}\right)\cdot \cdot \cdot \left(\frac{\rho^2}{z_{\nu-1}}+\frac{\rho^2}{z_{\nu}}\right)\left(\frac{\rho^2}{z_{\nu}}+\frac{\rho^2}{z_1}\right)}}{\displaystyle{\frac{\rho^2}{z_1}\,\frac{\rho^2}{z_2}\cdot \cdot \cdot \frac{\rho^2}{z_{\nu}}}}\\&=\frac{\rho^{2\nu}}{\rho^{2\nu}}\left[\frac{\displaystyle{\left(z_1+z_2\right)\left(z_2+z_3\right)\cdot \cdot \cdot \left(z_{\nu-1}+z_{\nu}\right)\left(z_{\nu}+z_{1}\right)}}{z_1^2\,z_2^2\,z_3^2\cdot \cdot \cdot z_{\nu-1}^2\,z_{\nu}^2}}\right]\cdot \left(z_1\,z_2\cdot \cdot \cdot z_{\nu}\right)\\&=\frac{\left(z_1+z_2\right)\left(z_2+z_3\right)\cdot \cdot \cdot \left(z_{\nu-1}+z_{\nu}\right)\left(z_{\nu}+z_{1}\right)}{z_1\,z_2\cdot \cdot \cdot z_{\nu}}\\&=E\end{aligned}}$

mathxl έγραψε:
4. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
α. ${E_1} = {\left( {2 + i\sqrt 5 } \right)^7} + {\left( {2 - i\sqrt 5 } \right)^7}$ είναι πραγματικός.
β. ${E_2} = {\left( {\frac{{19 + 7i}}{{9 - i}}} \right)^\nu } + {\left( {\frac{{20 + 5i}}{{7 + 6i}}} \right)^\nu }$ είναι πραγματικός

α)Θέτουμε $\displaystyle{w=2+i\sqrt{5}}$ και τότε,

$\displaystyle{E_{1}=w^{7}+\left(\bar{w}\right)^{7}=\left(w^{7}\right)+\bar{\left(w^{7}\right)}=2Re\left(w^{7}\right)\in\mathbb{R}}$

β)Είναι,

$\displaystyle{\frac{19+7i}{9-i}=\frac{\left(19+7i\right)\left(9+i\right)}{\left(9-i\right)\left(9+i\right)}=\frac{9\cdot 19+19i+63i-7}{81+1}=\frac{164+82i}{82}=2+i}$

$\displaystyle{\frac{20+5i}{7+6i}=\frac{\left(20+5i\right)\left(7-6i\right)}{\left(7+6i\right)\left(7-6i\right)}=\frac{140-120i+35i+30}{49+36}=\frac{170-85i}{85}=2-i}$

Θέτοντας $\displaystyle{z=2+i}$ έχουμε

$\displaystyle{E_{2}=\left(2+i\right)^{\nu}+\left(2-i\right)^{\nu}=z^{\nu}+\left(\bar{z}\right)^{\nu}=2Re\left(z^{\nu}\right)=2Re\left[\left(2+i\right)^{\nu}\right]\in\mathbb{R}}$

mathxl · #3

wow 5 μηνύματα σε αναμονή με το λογκάρισμα!
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις, έγινε η αντιγραφή.

Μιγαδικοί 3 και 4

Μιγαδικοί 3 και 4

Re: Μιγαδικοί 3 και 4

Re: Μιγαδικοί 3 και 4

Μέλη σε σύνδεση