ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \alpha x+\beta y=\gamma \\ \delta x + \varepsilon y=\lambda \end{cases}}$
και να διερευνηθεί ξεχωριστά η περίπτωση $\displaystyle{\gamma=\lambda=0}$

2. Να παρεμβληθούν μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{\alpha}$ , όταν $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha \ne 1}$ , $\displaystyle{2\nu}$ το πλήθος αριθμοί ,
οι οποίοι μαζί με τους $\displaystyle{ 1}$ και $\displaystyle{\alpha}$ να αποτελέσουν γεωμετρική πρόοδο.
Να βρεθεί και το άθροισμα των παρεμβαλλόμενων .
Εφαρμογή για $\displaystyle{ \nu =2}$ και $\displaystyle{ \alpha=-\frac{1}{32}}$ .

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{x^4-2(\alpha+\beta)x^2+(\alpha-\beta)^2=0}$ και οι ρίζες της να γραφούν στην μορφή αθροίσματος δυο απλών ριζικών.

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{x^4-2(\alpha+\beta)x^2+(\alpha-\beta)^2=0}$ και οι ρίζες της να γραφούν στην μορφή αθροίσματος δυο απλών ριζικών.

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}x^4-2\left(\alpha+\beta\right)\,x^2+\left(\alpha-\beta\right)^2=0&\Leftrightarrow \left[x^2-\left(\alpha+\beta\right)\right]^2+\left(\alpha-\beta\right)^2-\left(\alpha+\beta\right)^2=0\\&\Leftrightarrow \left[x^2-\left(\alpha+\beta\right)\right]^2=\left(\alpha+\beta\right)^2-\left(\alpha-\beta\right)^2\\&\Leftrightarrow \left[x^2-\left(\alpha+\beta\right)\right]^2=4\alpha\beta\end{aligned}$

Αν $\displaystyle{\alpha\beta=0\Leftrightarrow \alpha=0\ \lor \beta=0}$ , τότε, έχουμε $\displaystyle{x^2=\alpha+\beta\,\,(I)}$

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις.

α) $\displaystyle{\alpha=0\,\,,\beta\neq 0}$

Από $\displaystyle{(I)}$ , $\displaystyle{x^2=\beta\Rightarrow x=\begin{cases} \sqrt{0}\pm \sqrt{\beta}\,\,,\beta>0\\ \sqrt{0}\pm \sqrt{-\beta}\,\,,\beta<0 \end{cases}}$

β) $\displaystyle{\alpha\neq 0\,\,,\beta=0}$

Εργαζόμαστε όμοια με το α)

γ) $\displaystyle{\alpha=\beta=0}$

Τότε από την $\displaystyle{(I)}$ είναι $\displaystyle{x^2=0\Rightarrow x=0=\sqrt{0}+\sqrt{0}}$

Αν $\displaystyle{\alpha\beta>0\Leftrightarrow \alpha\,,\beta>0\ \lor \alpha\,,\beta<0}$ , τότε από την $\displaystyle{(I)}$ έχουμε

$\displaystyle{x^2=\left(\alpha+\beta\right)\pm 2\sqrt{\alpha\beta}\,\,(II)$

Έστω ότι $\displaystyle{\alpha\,,\beta>0}$ .

Τότε, από $\displaystyle{(II)}$ , $\displaystyle{x^2=\left(\sqrt{\alpha}\pm \sqrt{\beta}\right)^2\Rightarrow x=\pm\left( \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)\ \lor x=\pm \left|\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}\right|}$

Αν $\displaystyle{\alpha\geq \beta}$ , τότε $\displaystyle{x=\pm\left(\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}\right)}$ , ενώ αν $\displaystyle{\alpha<\beta}$

τότε $\displaystyle{x=\pm\left(\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}\right)}$

Έστω τώρα ότι $\displaystyle{\alpha<0\,\,,\beta<0}$ .Από $\displaystyle{(II)}$ είναι,

$\displaystyle{x^2=\left(\alpha+\beta\right)\pm 2\sqrt{\alpha\beta}=-\left[\sqrt{-\alpha}\pm \sqrt{-\beta}\right]^2<0\Rightarrow x=\pm i\left[\sqrt{-\alpha}\pm \sqrt{-\beta}\right]$

Τέλος, αν $\displaystyle{\alpha\beta<0}$ , τότε $\displaystyle{x^2=\left(\alpha+\beta\right)\pm 2i\sqrt{-\alpha\beta}\,\,(III)}$

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\alpha<0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\beta>0}$

Ας είναι $\displaystyle{x=c+di\,\,,c,d\in\mathbb{R}}$ .Τότε από την $\displaystyle{(III)}$ παίρνουμε,

$\displaystyle{\left(c^2-d^2\right)+2cdi=\left(\alpha+\beta\right)+2i\sqrt{-\alpha\beta}\ \lor \left(c^2-d^2\right)+2cdi=\left(\alpha+\beta\right)-2i\sqrt{-\alpha\beta}$

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε $\displaystyle{c^2-d^2=\alpha+\beta\,\,\kappa \alpha \iota\,\,cd=\sqrt{-\alpha\beta}>0}$

Από την δεύτερη εξίσωση έχουμε $\displaystyle{d=\frac{\sqrt{-\alpha\beta}}{c}}$ και έτσι η πρώτη δίνει

$\displaystyle{c^4+\frac{\alpha\beta}{c^2}=\alpha+\beta\Rightarrow c^4-\left(\alpha+\beta\right)c^2+\alpha\beta=0\Rightarrow \left(c^2-\alpha\right)\left(c^2-\beta\right)=0\Rightarrow c^2=\beta\Rightarrow c=\pm \sqrt{\beta}}$

Επομένως, $\displaystyle{x=\pm \sqrt{\beta}\pm \frac{\sqrt{-\alpha\beta}}{\beta}}i=\pm \sqrt{\beta}\pm \sqrt{\frac{-\alpha}{\beta}}i}$

Όμοια εργαζόμαστε για την εξίσωση $\displaystyle{x^2=\alpha+\beta-2\sqrt{-\alpha\beta}}$ αλλά και για την περίπτωση όπου

$\displaystyle{\alpha>0\,\, \kappa \alpha \iota\,\,\beta<0}$

Υ.Γ:Έλυσα την εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών και υπέθεσα ότι τα $\displaystyle{\alpha\,,\beta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί.Υπάρχει κάποιο λάθος? Πιστεύετε ότι η άσκηση δόθηκε κατά αυτόν τον τρόπο, χωρίς κάποιο άλλο δεδομένο, έτσι ώστε να διακρίνουμε όλες τις περιπτώσεις που φαίνονται παραπάνω?

parmenides51 · #3

BAGGP93 έγραψε:Υ.Γ:Έλυσα την εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών και υπέθεσα ότι τα $\displaystyle{\alpha\,,\beta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί.Υπάρχει κάποιο λάθος? Πιστεύετε ότι η άσκηση δόθηκε κατά αυτόν τον τρόπο, χωρίς κάποιο άλλο δεδομένο, έτσι ώστε να διακρίνουμε όλες τις περιπτώσεις που φαίνονται παραπάνω?

Η εκφώνηση έτσι βρίσκεται στο Δελτίο του Πάλλα 1969 σελ.43 και θεωρείται η πιο αξιόπιστη πηγή.
Με βάση την λύση από το εν λόγω Δελτίο , οι $\displaystyle{\alpha\,,\beta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί (το συνήθιζαν σαν συμβολισμό)
και μάλιστα θετικοί (τελείως αυθαίρετο, μάλλον για να βγουν ριζικά που ζητά η εκφώνηση) ,
την εξίσωση την λύνει στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ (μολονότι τις πολυωνυμικές τότε τις έλυναν στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ )
προκειμένου να εφαρμόσει αυτό που εκφράσει τις ρίζες ως άθροισμα απλών ριζικών,
το οποίο ξαναείδαμε στο

εδώ και στις παραπομπές αμέσως παρακάτω, δηλαδή εδώ

η λύση σου είναι πιο σύντομη από την ενδεικτική που έχω

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση