Μιγαδικοί 14

mathxl · #1

Προτελευταία για σήμερα
14. Έστω ${z_1},{z_2},{z_3} \in {C^ * }$ ,
α. Εάν $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$ τότε : ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0$ αν και μόνο αν $\displaystyle{{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1} = 0}$
β. Εάν ${z_1} + {z_2} + {z_3} = {{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1} = 0$ τότε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$
(1987 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade)

#2

Ωραίες ασκησούλες Βασίλη!

α)

Ας είναι $\displaystyle{|z_1|=|z_2|=|z_3|=r\geq 0,}$ οπότε $\displaystyle{\bar{z_i}=\frac{r^2}{z_i},~i=1,2,3.}$

Τότε,

$\displaystyle{z_1+z_2+z_3=0 \iff \overline{z_1+z_2+z_3}=0\iff \frac{r^2}{z_1}+\frac{r^2}{z_2}+\frac{r^2}{z_3}=0 \iff z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=0.}$

β) Με Vieta είναι προφανές.
Αλλιώς, είναι

$\displaystyle{z_1 ^2=(z_1+z_2)(z_1+z_3)=z_2z_3\implies z_1 ^3=z_1z_2z_3.}$

Ομοίως, έχουμε και $\displaystyle{z_2 ^3=z_3 ^3=z_1z_2z_3,}$ οπότε περνώντας σε μέτρα προκύπτει η ζητούμενη.

mathxl · #3

Ουφ...τα μεγάλα παιδιά με αλλάξατε τα πετρέλαια...τις αντέγραψα όλες και είναι έτοιμες για το αρχείο. Απομένουν οι ασκήσεις στον φάκελο μαθητών και βλέπουμε.Υπάρχουν άλλες 22 σίγουρα.
Ελπίζω να έχουμε ένα συμπληρωματικό καλούτσικο αρχείο για μια πρώτη επανάληψη (θα γίνει στο σπίτι από τους μαθητές) αφού βγάλουμε το πρώτο κεφάλαιο.

#4

mathxl έγραψε:Υπάρχουν άλλες 22 σίγουρα.

Βασίλη δε βάζεις μερικές ακόμη σήμερα;

Μιγαδικοί 14

Μιγαδικοί 14

Re: Μιγαδικοί 14

Re: Μιγαδικοί 14

Re: Μιγαδικοί 14

Μέλη σε σύνδεση