Μιγαδικοί 21

mathxl · #1

21. Ας είναι $z \in C$ με ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) > 1$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {\frac{1}{z} - \frac{1}{2}} \right| < \frac{1}{2}}$ .

Οκ Αλέξανδρε, αφού εσείς το ζητήσατε, θα βάλω μερικές...να δούμε τι θα γίνει με την αντιγραφή...

Μόλις έβαλα το νούμερο που θα σταματήσω για σήμερα.

#2

Είναι

άρα $z+\overline{z}>2 \ \ (1)$ οπότε

$\left|\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{2}\right|^2=\left(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{\overline{z}}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{|z|^2}-\dfrac{z+\overline{z}}{2|z|^2}+\dfrac{1}{4}\stackrel{(1)}{<}\dfrac{1}{|z|^2}-\dfrac{2}{2|z|^2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$ απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#3

Αλλιώς:

Η αποδεικτέα γράφεται $\displaystyle{|z-2|<|z|,}$ η οποία περιγράφει το ημιεπίπεδο το δεξί της ευθείας $\displaystyle{x=1.}$

Μιγαδικοί 21

Μιγαδικοί 21

Re: Μιγαδικοί 21

Re: Μιγαδικοί 21

Μέλη σε σύνδεση