Μιγαδικοί 16

mathxl · #1

16. Ας είναι $\displaystyle{z \in C}$ . Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) > 0 \Leftrightarrow \left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| < 1}$ .

Leo · #2

Γράφουμε σε πολική μορφή
$\displaystyle{z=r\cos \theta +i\cdot r\sin \theta }$

$Im\left(z \right)>0\Rightarrow rsin\theta >0 \Rightarrow sin\theta >0\: \: \: (\star )$

${{\left| z-i \right|}^{2}}={{r}^{2}}{{\left| \cos \theta +i\left( \sin \theta -1 \right) \right|}^{2}}=$

${{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\theta +{{\sin }^{2}}\theta -2\sin \theta +1 \right)={{r}^{2}}\left( 2-2\sin \theta \right)$

Όμοια,
${{\left| z+i \right|}^{2}}={{r}^{2}}\left( 2+2\sin \theta \right)$

Λόγω της $(\star )$ ,
$2-2\sin \theta <2<2+2\sin \theta$
Και τελειώσαμε.

2η λύση

Γεωμετρικά, η σχέση $Im\left(z \right)>0$ λέει ότι στο επίπεδο (χ,y) ο

βρίσκεται στο ημιεπίπεδο πάνω από τον άξονα x'x

.

Άρα η απόστασή της εικόνας του από το σημείο (0,1)

(εικόνα του

) είναι μικρότερη από την από την απόσταση από το σημείο (0,-1)

(εικόνα του

),
που είναι το ζητούμενο.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #4

εντός της λύσης εδώ κι εδώ

Μιγαδικοί 16

Μιγαδικοί 16

Re: Μιγαδικοί 16

Re: Μιγαδικοί 16

Re: Μιγαδικοί 16

Μέλη σε σύνδεση