Μιγαδικοί 29

mathxl · #1

29.. Έστω $\displaystyle{a,b,c \in {R^ * }}$ και οι μιγαδικοί $\displaystyle{z \in C{\rm{ - }}R}$ με $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{{\rm{a}}{{\rm{z}}^2} + b\bar z + c = 0}$ . Αποδείξτε ότι : $\displaystyle\frac{c}{a} \in \left( { - 3,1} \right)$ και $\displaystyle\frac{b}{a} \in \left( { - 2,2} \right)$ .
[G.M. 1/2011]

#2

Μια προσπάθεια επιτυχής κατά τα $\displaystyle{\,\,\,\frac{3}{4}}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} a{z^2} + b\bar z + c = 0 \\ a{\overline z ^2} + bz + c = 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow a(z + \overline z )(z - \overline z ) - b(z - \overline z ) = 0 \Leftrightarrow (z - \overline z )[a(z + \overline z ) - b] = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{z - \overline z \ne 0} (z + \overline z ) = \frac{b}{a}\,\,\,\,\,(1) \\ z = x + yi\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \,\,2x = \frac{b}{a} \\ {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow - 1 < x < 1 \Rightarrow - 2 < 2x < 2 \Rightarrow - 2 < \frac{b}{a} < 2 \Rightarrow \frac{b}{a} \in ( - 2,2)\,\,\,\,\,(\,{\rm{ }}z \ne \pm 1) \\ {z^2} + \frac{b}{a}(\frac{b}{a} - z) + \frac{c}{a} = 0 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - \frac{b}{a}z + \frac{c}{a} = 0 \\ \\ \Delta < 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 4\left( {\frac{c}{a} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow - 4\frac{c}{a} < 3\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} < 12 \Rightarrow \frac{c}{a} > - 3 \\ \\ {z^2} + \frac{b}{a}z + \frac{c}{a} = 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} = - {z^2} - \frac{b}{a}z \Rightarrow \left| {\frac{c}{a}} \right| = \left| {{z^2} + \frac{b}{a}z} \right| \le |{z^2}| + |\frac{b}{a}||z| < 1 + 2 = 3 \\ \end{array}}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

mathxl έγραψε:29.. Έστω $\displaystyle{a,b,c \in {R^ * }}$ και οι μιγαδικοί $\displaystyle{z \in C{\rm{ - }}R}$ με $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{{\rm{a}}{{\rm{z}}^2} + b\bar z + c = 0}$ . Αποδείξτε ότι : $\displaystyle\frac{c}{a} \in \left( { - 3,1} \right)$ και $\displaystyle\frac{b}{a} \in \left( { - 2,2} \right)$ .
[G.M. 1/2011]

Προσπάθεια να ολοκληρωθεί η προσπάθεια του Γιώργη.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις, οπότε προκύπτει:

$\displaystyle{\alpha (z^2 + \overline z ^2 ) + b(z + \overline z ) + 2c = 0 \Rightarrow 2c = - \alpha [(z + \overline z )^2 - 2z\overline z ] - b(z + \overline z ) \Rightarrow 2c = - \alpha (\frac{b}{{\alpha ^2 }}^2 - 2) - \frac{{b^2 }}{\alpha } \Rightarrow}$
$\displaystyle{2\frac{c}{\alpha } = - \frac{{b^2 }}{{\alpha ^2 }} + 2 - \frac{{b^2 }}{{\alpha ^2 }} \Rightarrow \frac{c}{\alpha } = 1 - \frac{{b^2 }}{{\alpha ^2 }} \Rightarrow \frac{c}{\alpha } = 1 - 4{\mathop{\rm Re}\nolimits} ^2 (z)}$

Προφανώς $\displaystyle{\frac{c}{\alpha } \prec 1}$
Επίσης, $\displaystyle{ \left| {Re(z)} \right| < 1 \Rightarrow Re^2 (z) < 1 \Rightarrow 4Re^2 (z) < 4 \Rightarrow - 4Re^2 (z) > - 4 \Rightarrow 1 - 4Re^2 (z) > - 3 \Rightarrow \frac{c}{\alpha } > - 3 }$

Φιλικά Χρήστος

mathxl · #4

Έκανα ένα πάντρεμα και έγινε η αντιγραφή. Ευχαριστώ.

Μιγαδικοί 29

Μιγαδικοί 29

Re: Μιγαδικοί 29

Re: Μιγαδικοί 29

Re: Μιγαδικοί 29

Μέλη σε σύνδεση