Μιγαδικοί 40

mathxl · #1

40.Έστω ${z_1},{z_2} \in C$ ώστε: $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3$ και $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$ . Υπολογίστε $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ .

Απλή για καληνύχτα (νομίζω ότι κάτι τέτοιο έπεσε πέρσι.

Σ. Διονύσης · #2

Πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος...

parmenides51 · #3

Δοκίμασε το έτσι :

40.Έστω ${z_1},{z_2} \in C$ ώστε: $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = {\color{red}\sqrt{3}}$ και $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$ . Υπολογίστε $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ .

Σ. Διονύσης · #4

΄Εχουμε:

$\displaystyle{\begin{matrix}|z_1+z_2|^2 =(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) \\ \\ =z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_2} +\bar{z_1}z_2+z_1 \bar{z_2}\\ \\ =|z_1|^2+|z_2|^2+2Re(\bar{z_1}z_2) \; \; \; \color{blue}(1)\end{matrix}}$

Έντελώς όμοια θέτοντας $z_2\rightarrow -z_2$ προκύπτει και η:

$\displaystyle{|z_1-z_2|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2-2Re(\bar{z_1}z_2) \; \; \; \color{blue}(2)}$

και προσθέτοντας τις (1),(2) προκύπτει το ζητούμενο:

$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2\Leftrightarrow |z_1-z_2|=1$

#5

Ενδιαφέρον έχει και η γεωμετρική προσέγγιση.Λίγο συνοπτικά :

Αν

είναι το μέσο της χορδής

που σχηματίζουν οι εικόνες των δύο μιγαδικών, τότε από τα δεδομένα παίρνουμε ότι |z_1+z_2|=2(OM)

οπότε :

$(OM)=\frac {R \sqrt 3}{2}=a_6$ .

Πρόκειται για χορδή λοιπόν ίση με την πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε αυτόν τον μοναδιαίο κύκλο, οπότε το μήκος της είναι

(AB)=|z_1-z_2|=R=1

Μπάμπης

nikostz · #6

και με τον κανόνα του παρ/μου βγαίνει πάντως.

Χρήστος Λαζαρίδης · #7

Μία απόπειρα γραφικής επίλυσης.
Οι εικόνες των $\displaystyle{z_1 ,z_2 , - z_2 }$ είναι τα σημεία Α,Β,Γ αντίστοιχα.
Τα Β,Γ είναι αντιδιαμετρικά.
Με εφαρμογή Πυθαγορείου στο ΑΒΓ, έχουμε ότι: $\displaystyle{ \left| {z_1 - z_2 } \right| = (AB) = \sqrt {(A\Gamma )^2 - \left( {B\Gamma } \right)^2 } = \sqrt {4 - 3} = 1 }$

Mathematica.ggb: (3.97 KiB) Μεταφορτώθηκε 78 φορές

Φιλικά Χρήστος

mathxl · #8

Χε, όπως και εχθές ..οι τελευταίες το έχουν το τυπογραφικό τους. Πράγματι είναι τετραγωνική ρίζα του 3 και όχι 3. Την αντιγράφω τώρα και μετά κοιτώ τα π.μ.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Τα περισσότερα μηνύματα αφορούσαν το τυπογραφικό, ευχαριστώ διορθώθηκε.

parmenides51 · #9

η ίδια εδώ , παρόμοιες : εδώ , εδώ κι εδώ

Μιγαδικοί 40

Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Re: Μιγαδικοί 40

Μέλη σε σύνδεση