Πρωτότυπο συνδυαστικό

thanasis kopadis · #1

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z=a+bi

και

με $a,b,c \epsilon R$
Δίνεται και η συνάρτηση

με τύπο $f(x)=\frac{b^2x^3+(6a^2+1)x+c^2-5}{x-2}$ για την οποία ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=37}$
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των

και

στο μιγαδικό επίπεδο.
β) Να αποδείξετε ότι $\left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9$
γ) Αν b>0

να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού $-\bar{w}$ καθώς επίσης και το $\left|w+\bar{w} \right|_{min}$

dennys · #2

1) Αρχικά επειδή το όριο είναι πραγματικ'ός αριθμός πρέπει $8b^{2}+12a^{2}+2+c^{2}-5=0 (1)$

και τότε $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\cfrac{b^{2}x^{3}+6a^{2}x+x-8b^{2}-12a^{2}-2}{x-2}=$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\cfrac{(x-2)[(x^{2}+2x+4)+6a^{2}+1}{x-2}=37\Rightarrow 2b^{2}+a^{2}=6\Rightarrow \cfrac{a^{2}}{6}+\cfrac{b^{2}}{3}=1$

δηλ η εικόνα του

κινείται σε έλλειψη.

Απο την (1) με την σχέση της έλλειψης ,έχουμε $16b^{2}-c^{2}=69$ αρα υπερβολή.

2) Ξεκινάω απο το πρώτο μέλος και έχω

$|z^{2}|+|z^{2}-3|=|a^{2}-b^{2}+2abi|+|(a^{2}-b^{2}-3)+2abi|=$ , χωρίς δεξιότεχνες πράξεις και με την σχέση της έλλειψης

αφου κάνω τα μέτρα ρίζες,καταλήγω $a^{2}+b^{2}+\sqrt{(b^{2}+3)^{2}}=a^{2}+2b^{2}+3=6+3=9$ .-

3) Επειδή κινείται σε υπερβολή η οποία έχει συμμετρία και ως πρός x'x

αλλά και ως πρός το O(0,0)

ο $-\bar {w}$ κινείται στην ίδια υπερβολή αλλά συμμετρικα ως πρός $y'y\Rightarrow |w+\bar {w}|_{min}=2b$

Christos75 · #3

dennys έγραψε:1) Αρχικά επειδή το όριο είναι πραγματικ'ός αριθμός πρέπει $8b^{2}+12a^{2}+2+c^{2}-5=0 (1)$

και τότε $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\cfrac{b^[2]x^{3}+6a^{2}x+x-8b^{2}-12a^{2}-2}{x-2}=$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\cfrac{(x-2)[(x^{2}+2x+4)+6a^{2}+1}{x-2}=37\Rightarrow 2b^{2}+a^{2}=6\Rightarrow \cfrac{a^{2}}{6}+\cfrac}b^{2}}{3}=1$

Μία μικρή διόρθωση λόγω κεκτημένης κ Βουτσά. Η εξίσωση της έλλειψης είναι : $\displaystyle{\frac{a ^{2}}{6}+\frac{b^{2}}{3}=1}$

thanasis kopadis έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και με $a,b,c \epsilon R$
Δίνεται και η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\frac{b^2x^3+(6a^2+1)x+c^2-5}{x-2}$ για την οποία ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=37}$
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των και στο μιγαδικό επίπεδο.
β) Να αποδείξετε ότι $\left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9$
γ) Αν να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού $-\bar{w}$ καθώς επίσης και το $\left|w+\bar{w} \right|_{min}$

Ωραία θεματάκι Θανάση, περιμένουμε κι άλλο...

dennys · #4

Θα παρακαλούσα να διορθώσετε το αγαπητέ/ή
dennys είναι Ο κ. Βουτσάς Διονύσης.

Christos75 · #5

dennys έγραψε:Θα παρακαλούσα να διορθώσετε το ο/η
dennys είναι ο Βουτσάς Διονύσης.

Βεβαίως, δεν γνώριζα το πλήρες όνομα. Αγαπητέ Διονύση λοιπόν, θα διορθωθεί.

dennys · #6

Να είστε καλά κ. Αλεξίου Χρήστο

thanasis kopadis · #7

Καλησπέρα συνάδελφοι.
Χρήστο σε ευχαριστώ πολύ..

β) Λίγο διαφορετικά:
Αφού η εικόνα του μιγαδικού

κινείται σε έλλειψη με εστίες $E΄(-\sqrt{3},0)$ , $E(\sqrt{3},0)$ και μεγάλο άξονα μήκους $2\sqrt{6}$ , από τον ορισμό της έλλειψης θα ισχύει:
$\left|z+\sqrt{3} \right|+\left|z-\sqrt{3} \right|=2\sqrt{6}$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
$\left|z+\sqrt{3} \right|^2+\left|z-\sqrt{3} \right|^ 2 +2\left|z+\sqrt{3} \right|\left|z-\sqrt{3} \right|=(2\sqrt{6})^ 2\Leftrightarrow$
$(z+\sqrt{3})(\bar{z}+\sqrt{3})+(z-\sqrt{3})(\bar{z}-\sqrt{3})+2\left|(z+\sqrt{3})(z-\sqrt{3}) \right|=24\Leftrightarrow$
$2z\bar{z}+2\left|z^2-3 \right|=18\Leftrightarrow \left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9$

γ) Να συμπληρώσω ότι αφού b>0

η εικόνα του

θα κινείται στο δεξί κλάδο της υπερβολής.
Οπότε λόγω του ότι η εικόνα του $-\bar{w}$ είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των $\psi$ θα κινείται στον αριστερό κλάδο της ίδιας υπερβολής, με αποτέλεσμα (όπως προαναφέρθηκε από τον Διονύση): $\left|w+\bar{w} \right|_{min}=\left|w-(-\bar{w}) \right|_{min}=2\alpha$

Christos75 · #8

thanasis kopadis έγραψε:Καλησπέρα συνάδελφοι.
Χρήστο σε ευχαριστώ πολύ..

β) Λίγο διαφορετικά:
Αφού η εικόνα του μιγαδικού κινείται σε έλλειψη με εστίες $E΄(-\sqrt{3},0)$ , $E(\sqrt{3},0)$ και μεγάλο άξονα μήκους $2\sqrt{6}$ , από τον ορισμό της έλλειψης θα ισχύει:
$\left|z+\sqrt{3} \right|+\left|z-\sqrt{3} \right|=2\sqrt{6}$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
$\left|z+\sqrt{3} \right|^2+\left|z-\sqrt{3} \right|^ 2 +2\left|z+\sqrt{3} \right|\left|z-\sqrt{3} \right|=(2\sqrt{6})^ 2\Leftrightarrow$
$(z+\sqrt{3})(\bar{z}+\sqrt{3})+(z-\sqrt{3})(\bar{z}-\sqrt{3})+2\left|(z+\sqrt{3})(z-\sqrt{3}) \right|=24\Leftrightarrow$
$2z\bar{z}+2\left|z^2-3 \right|=18\Leftrightarrow \left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9$

γ) Να συμπληρώσω ότι αφού η εικόνα του θα κινείται στο δεξί κλάδο της υπερβολής.
Οπότε λόγω του ότι η εικόνα του $-\bar{w}$ είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των $\psi$ θα κινείται στον αριστερό κλάδο της ίδιας υπερβολής, με αποτέλεσμα (όπως προαναφέρθηκε από τον Διονύση): $\left|w+\bar{w} \right|_{min}=\left|w-(-\bar{w}) \right|_{min}=2\beta$

Μπράβο Θανάση ωραία λύση αυτή και πιο σύντομη με λιγότερο κίνδυνο να κάνεις λάθος πράξεις.

Πρωτότυπο συνδυαστικό

Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μέλη σε σύνδεση