Μιγαδικοί 60

mathxl · #1

Guess what! Η συλλογή θα κλείσει με τον υπαίτιο της δημιουργίας αυτού του εγγράφου...που έχει αρκετές ανισότητες. Σκοπός του είναι η εξοικείωση με τις ανισότητες... με όσον το δυνατόν κομψότερες λύσεις. Προσωπικά θα το δώσω στους μαθητές αφού πρώτα τελειώσω το κεφάλαιο, ως συμπληρωματικό΄. Θα ασχοληθώ με αυτές μόνο αν προκύψουν απορίες.
Απομένουν λύσεις κάποιων και μια άσκηση που ψάχνω στο μαθλινκς.
Ευλπιστώ αύριο να είναι τελειωμένο για να το χαρείτε και εσείς με όποιον τρόπο νομίζετε.

60. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{{\alpha _o},{\rm{ }}{\alpha _1},{\rm{ }}{\alpha _2}}$ ώστε για κάθε $i \in \left\{ {0,1,2} \right\}$ να είναι $\left| {{a_i}} \right| \le 3$ . Αν ο μιγαδικός αριθμός

ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{{v^3} + {\alpha _2}{v^2} + {\alpha _1}v + {\alpha _0} = 0}$ τότε να αποδείξετε ότι: $\left| v \right| < 4$ .
Πανελλαδικές εξετάσεις 2013 Μάιος .

mathxl · #2

Λύσεις viewtopic.php?f=46&t=37283
Η λύση που επέλεξα για την συλλογή είναι του Βαγγέλη Μουρούκου, την οποία και παραθέτω.
Είναι:
${v^3} + {a_2}{v^2} + {a_1}v + {a_0} = 0 \Rightarrow {v^3} = - \left( {{a_2}{v^2} + {a_1}v + {a_0}} \right) \Rightarrow$

$\Rightarrow \left| {{v^3}} \right| = \left| { - \left( {{a_2}{v^2} + {a_1}v + {a_0}} \right)} \right| \Rightarrow {\left| v \right|^3} = \left| {{a_2}{v^2} + {a_1}v + {a_0}} \right| \le \left| {{a_2}} \right|{\left| v \right|^2} + \left| {{a_1}} \right|\left| v \right| + \left| {{a_0}} \right|\mathop \Rightarrow \limits^{\left| {{a_i}} \right| \le 3}$

$\Rightarrow {\left| v \right|^3} \le 3{\left| v \right|^2} + 3\left| v \right| + 3\mathop \Rightarrow \limits^{3 < 4} {\left| v \right|^3} < 3{\left| v \right|^2} + 3\left| v \right| + 4 \Rightarrow {\left| v \right|^3} - 3{\left| v \right|^2} - 3\left| v \right| - 4 < 0\mathop \Rightarrow \limits^{Horner}$

$\left( {\left| v \right| - 4} \right)\left( {{{\left| v \right|}^2} + \left| v \right| + 1} \right) < 0$

και αφού ${\left| v \right|^2} + \left| v \right| + 1 > 0$ θα είναι $\left| v \right| < 4$ .

parmenides51 · #3

ένας οδηγός με όλες (σχεδόν) τις παραπάνω προτάσεις για τους επίδοξους λύτες βρίσκεται εδώ

περιμένω να βάλετε τουλάχιστον μια λύση πριν ψάξω να βρω κάθε άσκηση στο

Μιγαδικοί 60

Μιγαδικοί 60

Re: Μιγαδικοί 60

Re: Μιγαδικοί 60

Μέλη σε σύνδεση