Μιγαδικοί 56

mathxl · #1

56. Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c{\rm{ }},{\rm{ }}d{\rm{ }},{\rm{ }}e{\rm{ }}{\rm{, f}}}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = r{\rm{ }},{\rm{ }}\left| d \right| = \left| e \right| = \left| f \right| = R}$ , $\displaystyle{,{\rm{ }}0{\rm{ }} < r{\rm{ }} < R,{\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }} + {\rm{ }}e{\rm{ }} + {\rm{ }}f}$ . Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ και $\displaystyle{d{\rm{ }},{\rm{ }}e{\rm{ }},{\rm{ }}f}$ είναι ισόπλευρα.
[Διαγωνισμός «Cezar Ivanescu» Valcea , Romania 20/2/2004]
ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Χρήστο ευχαριστώ. στο γουορντ την είχα γράψει εδώ μου ξέφυγε. Την δίνω λοιπόν : $\displaystyle{{\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} = {\rm{ }}{d^2} + {\rm{ }}{e^2} + {\rm{ }}{f^2}.}$ και συγνώμη για την ταλαιπωρία....γράφεις κεφαλαία...και ποστάρεις...αυτά παθαίνεις αν δεν κοιτάς τι γράφεις.

#2

Έστω πως $a+b+c=d+e+f=k\ne 0.$
Υψώνοντας στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας τη δεύτερη σχέση προκύπτει εύκολα: ab+bc+ca=de+fe+fd.

Λαμβάνοντας συζυγείς στην αρχική και με γνωστή διαδικασία, έχω:

$\displaystyle{r^{2} \frac{ab+bc+ca}{abc}=R^{2} \frac{de+ef+fd}{d e \ f}}$

Λαμβάνοντας μέτρα έχω τελικά: r=R.

Άτοπο.

Επομένως k=0.

Τώρα είναι μία γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.

Καληνύχτα.

Υ.Γ: Η παράσταση ab+bc+ca

καθώς και η de+ef+fd

είναι διαφορετικές απο το μηδέν και μπορώ να τις διαγράψω. Αυτό φαίνεται από τη στιγμή που λαμβάνω συζυγείς στην αρχική σχέση αφού $k\ne0 \Rightarrow \overline{k}\ne 0.$

Υ.Γ

: Μικρή διόρθωση στη σχέση ισότητας των δύο ακτινών. Τώρα είναι οκ νομίζω.

parmenides51 · #3

βρήκα τι φταίει, το def συνεχόμενα κρασάρει σε latex,
μια λύση που δουλεύει είναι να αφήσεις ένα κενό ακριβώς μετά το d χρησιμοποιώντας το \,
δηλαδή στο τέλος γραψτο σαν d\,ef

νομίζω το είχε αναφέρει κάπου ο Μιχάλης Νάννος

#4

parmenides51 έγραψε:βρήκα τι φταίει, το def συνεχόμενα κρασάρει σε latex,
μια λύση που δουλεύει είναι να αφήσεις ένα κενό ακριβώς μετά το d χρησιμοποιώντας το \,
δηλαδή στο τέλος γραψτο σαν d\,ef

νομίζω το είχε αναφέρει κάπου ο Μιχάλης Νάννος

Ευχαριστώ τον Parmenides για τη βοήθεια!

parmenides51 · #5

εύρηκα

το είχε αναφέρει εδώ στο υστερόγραφο

βρήκα ποιο γράμμα έκανε την ζημιά δοκιμάζοντας τα λίγα λίγα σε latex από την παράθεση

Μιγαδικοί 56

Μιγαδικοί 56

Re: Μιγαδικοί 56

Re: Μιγαδικοί 56

Re: Μιγαδικοί 56

Re: Μιγαδικοί 56

Μέλη σε σύνδεση