Μιγαδικοί 59

mathxl · #1

59. Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ ώστε $\displaystyle{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} = {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}}$ . Αποδείξτε ότι:
Α) $\displaystyle{{\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ca{\rm{ }} = {\rm{ }}0}$
Β) ${a^2} = bc$
Γ) $\displaystyle{\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| b \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| c \right|}$
Δ) το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ είναι ισόπλευρο.

Η πηγή της δεύτερης ομάδας ασκήσεων είναι από μια συλλογή ασκήσεων πι ντι εφ που συγκέντρωσε ο συνάδελφος Σκοτίδας.

Προσθήκη: Τα κόκκινα. Τώρα την αντιγράφω. Διονύση εύχομαι να τα πούμε με φιάλη!!
...΄δεύτερη επεξεργασία για να κάνω αποκοπή το $abc \ne 0$ και

dennys · #2

Aν και είναι κλασσική στο είδος

1) απο την ταυτότητα $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\Rightarrow ab+bc+ac=0$

2)Απο το 1) $ab+ac=-bc\Rightarrow a(b+c)=-bc\Rightarrow -a^{2}=-bc\Rightarrow a^{2}=bc \Rightarrow a^{3}=abc$

την τελευταία για αργότερα και με κυκλική στα γράμματα $b^{3}=abc,c^{3}=abc$

3) και μετράροντας $|a|^{3}=|b|^{3}=|c|^{3}\Rightarrow |a|=|b|=|c|$

4)Ξεκινάμε απο |a-b|=|b-c|

αντικαθιστώ $b=-a-c\Rightarrow |a-b|^{2}=|b-c|^{2}.....|a|=|c|$

που ισχύει και όμοια b-c|=|c-a|

, αρα τελικά $|a-b|=|b-c|=|a-c|\Rightarrow ABC$ τρίγωνο ισόπλευρο

Ελπίζω να κεράσω τώρα και το φαγητό στο Βασίλη και οχι μόνο ξεροσφύρι .Βασίλη καλό καλοκαίρι .

Διονυσης

Σ. Διονύσης · #3

Δε βλέπω όμως το λόγω να ισχύει και το $abc\neq 0$

#4

Σ. Διονύσης έγραψε:Δε βλέπω όμως το λόγω να ισχύει και το $abc\neq 0$

Προφανώς έχεις δίκαιο !

Ο περιορισμός αυτός πρέπει να δοθεί στην εκφώνηση, αν θέλουμε να πάμε μέχρι τέρμα την άσκηση.Μπορεί να δοθεί καλύτερα ο περιορισμός ότι οι μιγαδικοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.

Μπάμπης

parmenides51 · #5

παρόμοια

dennys · #6

κ. Μπάμπη ,οπως είδες δεν το έλαβα καθόλου υπ'όψιν. Δεν χρειάζεται γιατι αν ένας είναι μηδέν τότε

απο την 1) όλοι είναι μηδέν και στα ερωτήματα δεν έχουμε τρίγωνο . Αν δοθεί οτι είναι διάφοροι είναι αρκετό.

φιλικά

Διονύσης

#7

dennys έγραψε:κ. Μπάμπη ,οπως είδες δεν το έλαβα καθόλου υπ'όψιν. Δεν χρειάζεται γιατι αν ένας είναι μηδέν τότε

απο την 1) όλοι είναι μηδέν και στα ερωτήματα δεν έχουμε τρίγωνο . Αν δοθεί οτι είναι διάφοροι είναι αρκετό.

φιλικά

Διονύσης

Διονύση, για να το τακτοποιήσουμε οριστικά :

Στην εκφώνηση να δώσουμε ότι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο. Αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός, το ερώτημα με το τρίγωνο και αυτό με το ''διάφορο του μηδενός '' δεν απαντώνται.

Μπάμπης

Μιγαδικοί 59

Μιγαδικοί 59

Re: Μιγαδικοί 59

Re: Μιγαδικοί 59

Re: Μιγαδικοί 59

Re: Μιγαδικοί 59

Re: Μιγαδικοί 59

Re: Μιγαδικοί 59

Μέλη σε σύνδεση