Κλασική (για διαγώνισμα)
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- thanasis kopadis
- Δημοσιεύσεις: 149
- Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
- Επικοινωνία:
Κλασική (για διαγώνισμα)
Καλημέρα στο Ένα ακόμη θέμα από ένα καινούργιο φυλλάδιο που ετοιμάζω.
Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, με και .
Αν ισχύει για κάθε
α) Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της
β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι
γ) Να αποδείξετε ότι
δ) Αν , να αποδείξετε ότι
Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, με και .
Αν ισχύει για κάθε
α) Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της
β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι
γ) Να αποδείξετε ότι
δ) Αν , να αποδείξετε ότι
«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Κλασική (για διαγώνισμα)
Καλησπέρα.thanasis kopadis έγραψε:Καλημέρα στο Ένα ακόμη θέμα από ένα καινούργιο φυλλάδιο που ετοιμάζω.
Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, με και .
Αν ισχύει για κάθε
α) Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της
β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι
γ) Να αποδείξετε ότι
δ) Αν , να αποδείξετε ότι
Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο επομένως και η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο
α) Η δοθείσα γίνεται: απ' όπου ολοκληρώνοντας βρίσκουμε:
Κάνοντας χρήση της συνθήκης έχω: Επομένως:
β) Έχω: άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο
Έχω:
γ) Ισχύει:
απ' όπου ολοκληρώνοντας λαμβάνουμε το ζητούμενο.
( Είναι )
δ) Αφού θα είναι και (λόγω της μονοτονίας) άρα έπεται από τη δοθείσα πως
Επομένως πρόκειται για κυρτή συνάρτηση. Το ζητούμενο έπεται με εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής στα διαστήματα:
και την αξιοποίηση της μονοτονίας της πρώτης παραγώγου (λόγω κυρτότητας είναι γνησίως αύξουσα).
Χρήστος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης