Ύπαρξη ...

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:\left( {0, + \infty } \right) \to \Re }$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle{ f(x) > 0 }$ για κάθε x > 0 και $\displaystyle{ f\left( {\frac{a}{\beta }} \right) \cdot f\left( {\frac{\beta }{\gamma }} \right) \cdot f\left( {\frac{\gamma }{\alpha }} \right) = 1 }$ όπου 0 < α < β < γ
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ > 0 τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f(\xi ) = \xi ^{2000} }$

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Χρήστο είναι η άσκηση 32 του Μίλτου Παπαγρηγοράκη που την είχε συμπεριλάβει στο "114 ασκήσεις σε όλη την ύλη" που μας είχε στείλει! Έχω λύση και είναι όμορφη άσκηση!!

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Δεν μπορώ να βρώ το αρχείο αυτή τη στιγμή . Για όσους δεν έχουν δοκιμάσει την άσκηση , νομίζω ότι αξίζει το χρόνο σας ...

Μάκης Χατζόπουλος · #4

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Δεν μπορώ να βρώ το αρχείο αυτή τη στιγμή .

Χρήστο http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=159

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Για όσους δεν έχουν δοκιμάσει την άσκηση , νομίζω ότι αξίζει το χρόνο σας ...

Δεν το συζητώ!!

hsiodos · #5

Καλημέρα

Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει το ζητούμενο ξ . Τότε η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = f(x) - x^{2000} }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{ (0, + \infty )}$ (διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται στο διάστημα αυτό , συνεπώς διατηρεί πρόσημο.

Αν g(x) >0 για κάθε $\displaystyle{ \,x \in \,\,(0, + \infty )}$ τότε:

$\displaystyle{g\left( {\frac{a}{b}} \right) = f\left( {\frac{a}{b}} \right) - \left( {\frac{a}{b}} \right)^{2000} > 0 \Rightarrow f\left( {\frac{a}{b}} \right) > \left( {\frac{a}{b}} \right)^{2000} \,\,\,(1)\,}$ και ομοίως $\displaystyle{ f\left( {\frac{b}{c}} \right) > \left( {\frac{b}{c}} \right)^{2000} \,\,\,\,\,(2)\,\,\,\,\,\,f\left( {\frac{c}{a}} \right) > \left( {\frac{c}{a}} \right)^{2000} \,\,(3)}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη (θετικά) των (1),(2),(3) παίρνουμε: $\displaystyle{ f\left( {\frac{a}{b}} \right) \cdot f\left( {\frac{b}{c}} \right)f \cdot \left( {\frac{c}{a}} \right) > \left( {\frac{a}{b}} \right)^{2000} \cdot \left( {\frac{b}{c}} \right)^{2000} \cdot \left( {\frac{c}{a}} \right)^{2000} = 1}$ , άτοπο.

Με όποιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και όταν g(x)<0 για κάθε $\displaystyle{\,x \in \,\,(0, + \infty )}$

Τώρα προκύπτει το ζητούμενο.

Γιώργος

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #6

Ευχαριστώ Μάκη . Είναι από τα αρχεία που κατέβασα αμέσως μετά την εγγραφή μου στο mathematica και δεν έχω προλάβει να τα μελετήσω όλα ...
Μίλτο συγγνώμη αλλά είναι και 114

Υ.Γ Τώρα είδα και τη λύση του Γιώργου ( όμορφη και επιπλέον διαφορετική από αυτή που έχω ... )

Ύπαρξη ...

Ύπαρξη ...

Re: Ύπαρξη ...

Re: Ύπαρξη ...

Re: Ύπαρξη ...

Re: Ύπαρξη ...

Re: Ύπαρξη ...

Μέλη σε σύνδεση