Επίθεση στις άρρητες 11

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^4} + 9{x^2} + 9} + \sqrt {{x^4} + 16{x^2} + 16} = 7\sqrt {{x^2} + 1} }$ .

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

Broly · #3

orestisgotsis έγραψε:
mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^4} + 9{x^2} + 9} + \sqrt {{x^4} + 16{x^2} + 16} = 7\sqrt {{x^2} + 1} }$ .
Η εξίσωση ορίζεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+9}+\sqrt{{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}+16}=7\sqrt{{{x}^{2}}+1}\,\,\,\overset{\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}+9}+\sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}+16}=7\,\,\,\overset{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}=y}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,\,\sqrt{y+16}=7-\sqrt{y+9}\,\,\,\left( 1 \right)}$ .

Για $\displaystyle{0\le y<40}$ η $\left( 1 \right)\Leftrightarrow y+16=58-14\sqrt{y+9}\Leftrightarrow 14\sqrt{y+9}=42-y\,\,\,\overset{0\le y<40}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$

$\displaystyle{196\left( y+9 \right)=1764-2y+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-198y=0\,\,\,\overset{0\le y<40}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,\,y=0}$ , άρα $\displaystyle{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}=0\Leftrightarrow x=0}$

Η συνθήκη $0 \leq y <40$ , από που προκύπτει ακριβώς ?

Σ. Διονύσης · #4

Broly έγραψε:
orestisgotsis έγραψε:
mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^4} + 9{x^2} + 9} + \sqrt {{x^4} + 16{x^2} + 16} = 7\sqrt {{x^2} + 1} }$ .
Η εξίσωση ορίζεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+9}+\sqrt{{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}+16}=7\sqrt{{{x}^{2}}+1}\,\,\,\overset{\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}+9}+\sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}+16}=7\,\,\,\overset{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}=y}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,\,\sqrt{y+16}=7-\sqrt{y+9}\,\,\,\left( 1 \right)}$ .

Για $\displaystyle{0\le y<40}$ η $\left( 1 \right)\Leftrightarrow y+16=58-14\sqrt{y+9}\Leftrightarrow 14\sqrt{y+9}=42-y\,\,\,\overset{0\le y<40}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$

$\displaystyle{196\left( y+9 \right)=1764-2y+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-198y=0\,\,\,\overset{0\le y<40}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,\,y=0}$ , άρα $\displaystyle{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}=0\Leftrightarrow x=0}$
Η συνθήκη $0 \leq y <40$ , από που προκύπτει ακριβώς ?

Στην

αν $y \geq 40$ τότε $\displaystyle{\sqrt{y+9}\geq 7\Leftrightarrow 7-\sqrt{y+9}\leq 0}$ Όμως: $\displaystyle{\sqrt{y+16}\geq 4}$

Σ. Διονύσης · #5

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^4} + 9{x^2} + 9} + \sqrt {{x^4} + 16{x^2} + 16} = 7\sqrt {{x^2} + 1} }$ .

Λίγο διαφορετικά.

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+9}+\sqrt{{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}+16}=7\sqrt{{{x}^{2}}+1}\,\,\,\overset{\sqrt{{{x}^{2}}+1}\geq 1}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,} \displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}+9}+\sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}+16}=7\,\,\,\overset{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}=y\geq 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,\,\sqrt{y+16}=7-\sqrt{y+9}\,\,\,\left( 1 \right)}$

Στη τελευταία έχουμε:

$\displaystyle{\boxed{y\geq 0}\Leftrightarrow y+16\geq 16\Leftrightarrow \sqrt{y+16}\geq 4}$

Δηλαδή από την (1)

παίρνουμε:

$\displaystyle{7-\sqrt{y+9}= \sqrt{y+16}\geq 4 \Leftrightarrow -\sqrt{y+9}\geq -3\Leftrightarrow \sqrt{y+9}\leq 3\Leftrightarrow y+9\leq 9\Leftrightarrow \boxed{y\leq 0}}$

Άρα πρέπει: $\displaystyle{y=0}$ και τελικά $\displaystyle{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}=0\Leftrightarrow x=0}$

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

mathxl · #7

Δίνω και την ιδέα της κατασκευής.
Είναι:
$\displaystyle{\sqrt {{x^4} + 9{x^2} + 9} + \sqrt {{x^4} + 16{x^2} + 16} = 7\sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {\frac{{{x^4} + 9{x^2} + 9}}{{{x^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{x^4} + 16{x^2} + 16}}{{{x^2} + 1}}} = 7 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 7\left( {{x^2} + 1} \right) + 1}}{{{x^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 14\left( {{x^2} + 1} \right) + 1}}{{{x^2} + 1}}} = 7 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right) + 7 + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} + \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right) + 14 + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} = 7}$ .
Γνωρίζουμε όμως ότι:
$\displaystyle{\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 2 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) + 7 + \frac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 9 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right) + 7 + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \ge 3}$ , με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{{x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0}$ .
Όμοια $\displaystyle{\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right) + 14 + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \ge 4}$ με την ισότητα να ισχύει πάλι αν και μόνο αν $\displaystyle{{x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0}$ .
Έτσι έχουμε:
$\displaystyle{\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right) + 7 + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} + \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right) + 14 + \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \ge 7}$ και η ισότητα (εξίσωση μας) ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ .

Επίθεση στις άρρητες 11

Επίθεση στις άρρητες 11

Re: Επίθεση στις άρρητες 11

Re: Επίθεση στις άρρητες 11

Re: Επίθεση στις άρρητες 11

Re: Επίθεση στις άρρητες 11

Re: Επίθεση στις άρρητες 11

Re: Επίθεση στις άρρητες 11

Μέλη σε σύνδεση