Πλήθος πολυωνύμων

#1

Πόσα πολυώνυμα f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

, με

να είναι θετικοί ακέραιοι, υπάρχουν ώστε f(1)=10

;

Φιλικά,

Αχιλλέας

gavrilos · #2

Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των θετικών ακεραίων λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{a+b+c+d=10}$ .

Προφανώς $\displaystyle{a,b,c,d \in \{1,2,3,4,5,6,7\}}$ .

$\bullet$ Αν έστω και ένας εκ των όρων ισούται με $\displaystyle{7}$ τότε οι υπόλοιποι τρεις θα είναι οπωσδήποτε ίσοι με τη μονάδα κι έτσι έχουμε $\displaystyle{4}$ τέτοια πολυώνυμα.

$\bullet$ Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι $\displaystyle{6}$ τότε οι άλλοι τρεις θα είναι οι $\displaystyle{1,1,2}$ .Σύμφωνα με τον τύπο των αναγραμματισμών παίρνουμε $\displaystyle{12}$ τέτοια πολυώνυμα.

$\bullet$ Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι $\displaystyle{5}$ οι πιθανοί συνδυασμοί για τους άλλους τρεις είναι $\displaystyle{1,1,3}$ και $\displaystyle{1,2,2}$ .Οπότε συνολικά παίρνουμε $\displaystyle{24}$ πολυώνυμα.

$\bullet$ Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι $\displaystyle{4}$ έχουμε $\displaystyle{3}$ πιθανούς συνδυασμούς.Τους $\displaystyle{1,1,4,4}$ - $\displaystyle{2,2,2,4}$ - $\displaystyle{2,1,3,4}$ οι οποίοι μας δίνουν $\displaystyle{34}$ πολυώνυμα.

$\bullet$ Αν ο μεγαλύτερος συντελεστής είναι $\displaystyle{3}$ υπάρχουν δύο πιθανοί συνδυασμοί,ο $\displaystyle{3,3,2,2 \ - \ 3,3,3,1}$ που μας δίνουν $\displaystyle{10}$ πολυώνυμα.

Τέλος δεν υπάρχει κανένα από τα ζητούμενα πολυώνυμα που να μην έχει έστω έναν συντελεστή μεγαλύτερο ή ίσο του $\displaystyle{3}$ .

Επομένως $\displaystyle{84}$ πολυώνυμα ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.

#3

Ας γενικεύσουμε:

Πόσα πολυώνυμα f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

, με

να είναι θετικοί ακέραιοι, υπάρχουν ώστε f(1)=n,

όπου $n\in \Bbb{N}^*$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Θέλουμε το πλήθος των λύσεων της $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=n$
οπου $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ θετικοί φυσικοί.
Θέτοντας $y_{i}=x_{i}-1$
εχουμε οτι $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=n-4$
με $y_{i}$ φυσικοί.
Το πλήθος των λύσεων της τελευταίας είναι γνωστό και ισούται με C(n-1,n-4)

Γενικότερα το πληθος των λύσεων της $x_{1}+x_{2}+x_{3}....+x_{k}=n$
στους φυσικούς είναι C(n+k-1,n)

και μπορούμε να το δούμε η με επαναληπτικούς συνδιασμούς η με γεννήτριες συναρτήσεις η ...

Πλήθος πολυωνύμων

Πλήθος πολυωνύμων

Re: Πλήθος πολυωνύμων

Re: Πλήθος πολυωνύμων

Re: Πλήθος πολυωνύμων

Μέλη σε σύνδεση