Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

thanasis kopadis · #1

5 ωραίες περιπτώσεις

1)
Έστω $f,g:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ να ισχύει:
$abf^2(x)+(a+b)g(x)+abx=0 , a,b\in \mathbb R^*$ και $a+b\neq 0$ . Αν η C_f

τέμνει τον άξονα x'x

σε δύο σημεία A,B

εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η C_g

τέμνει τον x'x

σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των

και

2)
Έστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων A,B

της

υπάρχει σημείο

της

τέτοιο ώστε AC=BC

3)
Δίνεται συνάρτηση

συνεχής στο διάστημα [a,b]

. Έστω ότι τα σημεία A(a,f(a))

και

της $C_{f}$ ορίζουν ευθεία

που είναι παράλληλη στον άξονα x'x

και ότι η

δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη $C_{f}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία C,D

της $C_{f}$ με

παράλληλο στον άξονα x'x

τέτοια ώστε $CD=\frac{AB}{2}$

4)
Δίνεται συνάρτηση

συνεχής στο διάστημα [a,b]

με

και $f(b)f(\frac{a+b}{2})<0$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία A(x_1,f(x_1)) , B(x_2,f(x_2))

στο

με απόσταση των τετμημενων x_1,x_2

ίση με $\frac{b-a}{2}$ τέτοια ώστε f(x_1)=2f(x_2)

5)
Δίνεται συνάρτηση

συνεχής στο διάστημα [0,4]

, της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο OABC

, όπου

η αρχή των αξόνων και A(4,0) , C(0,2)

. Να δείξετε ότι η C_f

έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες

και

του ορθογωνίου.

Giorgos S · #2

thanasis kopadis έγραψε:
1)Έστω $f,g:R\rightarrow R$ δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε $x\epsilon R$ να ισχύει:
$abf^2(x)+(a+b)g(x)+abx=0 , a,b\epsilon R^*$ και $a+b\neq 0$ . Αν η τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η τέμνει τον σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των και

Αν $A(x_{1},0),B(x_{2},0)$ τα δύο σημεία, ισχύει ότι $f(x_{1})=f(x_{2})=0$ .
Από υπόθεση έχουμε ότι: $abf^2(x)+(a+b)g(x)+abx=0 \Rightarrow g(x)=\frac{-abx-abf^2(x)}{a+b}$ , οπότε
$g(x_{1})=\frac{-abx_{1}}{a+b}$ και $g(x_{2})=\frac{-abx_{2}}{a+b}$
επειδή τα $x_{1},x_{2}$ ετερόσημα, και τα $g(x_{1}),g(x_{2})$ ετερόσημα, δηλαδή $g(x_{1})g(x_{2})<0$
επίσης η

συνεχής, οπότε από θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (x_{1},x_{2})$ , τέτοιο ώστε $g(\xi)=0$

BAGGP93 · #3

thanasis kopadis έγραψε:
2)
Έστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων της υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε

Έστω $\displaystyle{A\left(x,f(x)\right)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,B\left(y,f(y)\right)}$ δύο σημεία της

γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{x\neq y}$

Για $\displaystyle{C\left(c,f(c)\right)\in C_{f}}$ είναι,

$\displaystyle{AC=BC\Leftrightarrow \left(AC\right)^2=\left(BC\right)^2\Leftrightarrow \left(c-x\right)^2+\left(f(c)-f(x)\right)^2=\left(c-y\right)^2+\left(f(c)-f(y)\right)^2\,\,(I)}$

Επομένως, θέλω να δείξω ότι υπάρχει $\displaystyle{c\in\left[a,b\right]-\left\{x,y\right\}}$ τέτοιο,

ώστε να ικανοποιείται η $\displaystyle{(I)}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g:J_{i}\to \mathbb{R}}$ , όπου $\displaystyle{i\in\left\{x,y\right\}}$

με $\displaystyle{J_{x}=\left[x,y\right]\subset \left[a,b\right]}$ αν $\displaystyle{x<y}$ και $\displaystyle{J_{y}=\left[x,y\right]\subset \left[a,b\right]}$ αν $\displaystyle{x>y}$ ,

με τύπο $\displaystyle{g(t)=\left(t-x\right)^2+\left(f(t)-f(x)\right)^2-\left(t-y\right)^2-\left(f(t)-f(y)\right)^2}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{J_{i}}$ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης, $\displaystyle{g(x)=-\left(x-y\right)^2-\left(f(x)-f(y)\right)^2<0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,g(y)=\left(y-x\right)^2+\left(f(y)-f(x)\right)^2>0}$

$\displaystyle{\kappa \alpha \iota\,\,\alpha \rho \alpha\,\,g(x)\,g(y)<0}$ .

Συνεπώς, από το Θεώρημα του $\displaystyle{Bolzano}$ , υπάρχει $\displaystyle{c\in J_{i}\subset \left[a,b\right]}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{g(c)=0\Leftrightarrow \left(c-x\right)^2+\left(f(c)-f(x)\right)^2=\left(c-y\right)^2+\left(f(c)-f(y)\right)^2}$ , όπως θέλαμε.

Ιστοσελίδα · #4

thanasis kopadis έγραψε:3)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα . Έστω ότι τα σημεία και της $C_{f}$ ορίζουν ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και ότι η δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη $C_{f}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της $C_{f}$ με παράλληλο στον άξονα τέτοια ώστε $CD=\frac{AB}{2}$

Αφού

θα είναι

Η

δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C_f

και
επειδή η

είναι συνεχής στο [a,b]

θα είναι:

για κάθε $x\in (a,b)$ ή
f(x)<f(a)=f(b)

για κάθε $x\in (a,b) .$

Υποθέτουμε ότι f(x)>f(a)=f(b)

για κάθε $x\in (a,b) .$

Έστω $g(x)=f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)-f(x)$ με $x\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right] .$

Η

είναι συνεχής στο διάστημα $\left[a,\frac{a+b}{2}\right]$ και
$g(a)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)>0$
$g\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$
δηλαδή $g(a)\cdot g\left(\frac{a+b}{2}\right)<0 .$

Επομένως, από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_1\in\left(a,\frac{a+b}{2}\right)$ τέτοιος ώστε:
$g(x_1)=0 \Leftrightarrow f\left(x_1+\frac{b-a}{2}\right)=f(x_1) .$

Τα σημεία C(x_1,f(x_1))

και

όπου $x_2=x_1+\frac{b-a}{2}$
ανήκουν στην C_f

είναι

και $CD=x_2-x_1=\frac{b-a}{2}=\frac{AB}{2} .$

Σημείωση: Αν η

μπορεί να τέμνει την C_f

και σε άλλο σημείο, τότε:
$g(a)\cdot g\left(\frac{a+b}{2}\right)=-\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right]^2\leq 0 .$

Τότε το $x_1\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right] .$

#5

thanasis kopadis έγραψε:...

2)
Έστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων της υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε

Μια άλλη λύση (με λίγη Ευκλείδεια γεωμετρία).

Ας θεωρήσουμε A(r,f(r))

και

,

. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας είναι r<s

.

Αρκεί να δείξουμε ότι η μεσοκάθετος του

τέμνει την C_f

.

Αν

, αυτό είναι προφανές, από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: το

είναι το $(\frac{r+s}{2},f(\frac{r+s}{2}))$ .

Αν $f(r)\ne f(s)$ , θεωρούμε το ρόμβο ARBS

, δηλαδή με μια διαγώνιο να είναι το

, το

έχει τετμημένη

και το

έχει τετμημένη

.

Έστω $g:[r,s]\to \mathbb{R}$ η συνεχής (γραμμική) συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση C_g

το ευθύγραμμο τμήμα

. (To τμήμα

ανήκει στη μεσοκάθετο του

).

Θέτουμε $h:[r,s]\to \mathbb{R}$ με h(x)=f(x)-g(x)

και παρατηρούμε ότι h(r)h(s)=-(f(r)-g(r))^2<0

, οπότε το συμπέρασμα έπεται από το θεώρημα Bolzano.

Edit (12:51πμ): Διόρθωση του τετραγώνου σε ρόμβο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

thanasis kopadis · #6

thanasis kopadis έγραψε:4)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα με και $f(b)f(\frac{a+b}{2})<0$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία στο με απόσταση των τετμημενων ίση με $\frac{b-a}{2}$ τέτοια ώστε

Αφού η απόσταση των x_1,x_2

είναι ίση με $\frac{b-a}{2}$ θα ισχύει ότι: $x_2-x_1=\frac{b-a}{2}$ , δηλαδή $x_2=x_1+\frac{b-a}{2}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι $f(x_1)=2f(x_1+\frac{b-a}{2})$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)-f(x+\frac{b-a}{2})$ στο $[a,\frac{a+b}{2}]$
Η

είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών, με $h(a)=f(a)-2f(a+\frac{b-a}{2})=5f(b)-2f(\frac{a+b}{2})$ και $h(\frac{a+b}{2})=f(\frac{a+b}{2})-2f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2})=f(\frac{a+b}{2})-2f(b)$ .
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και μετά από πράξεις προκύπτει ότι: $h(a)h(\frac{a+b}{2})=9f(b)f(\frac{a+b}{2})-10f^2(b)-2f^2(\frac{a+b}{2})<0$ , λόγω υπόθεσης. Άρα από Θ. Bolzano θα υπάρχει $x_1\epsilon [a,\frac{a+b}{2}]\subseteq [a,b]$ τέτοιο ώστε h(x_1)=0

και άρα αυτό που θέλαμε.

thanasis kopadis · #7

thanasis kopadis έγραψε:
5)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα , της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο , όπου η αρχή των αξόνων και . Να δείξετε ότι η έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες και του ορθογωνίου.

Aς δώσω και την απάντηση στο τελευταίο ερώτημα, ώστε να είναι ολοκληρωμένο. Ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις όσων ασχολήθηκαν.

Αφού το OABC

είναι ορθογώνιο, θα είναι B(4,2)

. Η διαγώνιος

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda _{OB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$ και άρα εξίσωση $OB: \psi =\frac{1}{2}x$ , ενώ αντίστοιχα η διαγώνιος

έχει $\lambda _{AC}=\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2}$ και εξίσωση $\psi =-\frac{1}{2}x+2$ . Θεωρώ τις συναρτήσεις $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}x$ και $h(x)=f(x)+\frac{1}{2}x-2$ και εφαρμόζω το Θ.Bolzano για κάθεμια από αυτές στο διάστημα [0,4]

. To δεδομένο που πρέπει να λάβω υπόψη, ώστε να ισχύει και η δεύτερη προυπόθεση του Θ.Bolzano είναι ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το f([0,4])=[0,2]

(λόγω του ορθογωνίου), οπότε $0\leq f(0)\leq 2$ και $0\leq f(4)\leq 2$ .

Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Re: Θ.Bolzano και ύπαρξη σημείων

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων

Μέλη σε σύνδεση