Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- thanasis kopadis
- Δημοσιεύσεις: 149
- Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
- Επικοινωνία:
Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
5 ωραίες περιπτώσεις
1)
Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε να ισχύει:
και . Αν η τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η τέμνει τον σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των και
2)
Έστω συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων της υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε
3)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα . Έστω ότι τα σημεία και της ορίζουν ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και ότι η δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη .
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της με παράλληλο στον άξονα τέτοια ώστε
4)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα με και . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία στο με απόσταση των τετμημενων ίση με τέτοια ώστε
5)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα , της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο , όπου η αρχή των αξόνων και . Να δείξετε ότι η έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες και του ορθογωνίου.
1)
Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε να ισχύει:
και . Αν η τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η τέμνει τον σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των και
2)
Έστω συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων της υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε
3)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα . Έστω ότι τα σημεία και της ορίζουν ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και ότι η δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη .
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της με παράλληλο στον άξονα τέτοια ώστε
4)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα με και . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία στο με απόσταση των τετμημενων ίση με τέτοια ώστε
5)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα , της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο , όπου η αρχή των αξόνων και . Να δείξετε ότι η έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες και του ορθογωνίου.
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Δευ Ιούλ 29, 2013 2:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Re: Θ.Bolzano και ύπαρξη σημείων
Αν τα δύο σημεία, ισχύει ότι .thanasis kopadis έγραψε:
1)Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε να ισχύει:
και . Αν η τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία εκατέρωθεν της αρχής των αξόνων, να δείξετε ότι η τέμνει τον σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των και
Από υπόθεση έχουμε ότι: , οπότε
και
επειδή τα ετερόσημα, και τα ετερόσημα, δηλαδή
επίσης η συνεχής, οπότε από θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον , τέτοιο ώστε
Βρίσκω την τηλεόραση πολύ διαπαιδαγωγική. Όποτε κάποιος την ανοίγει, πάω στο άλλο δωμάτιο και διαβάζω ένα βιβλίο.
Groucho Marx, comedian
1+1=3 για μεγάλες τιμές του 1...
Groucho Marx, comedian
1+1=3 για μεγάλες τιμές του 1...
Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
Έστω δύο σημεία τηςthanasis kopadis έγραψε:
2)
Έστω συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων της υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε
γραφικής παράστασης της με
Για είναι,
Επομένως, θέλω να δείξω ότι υπάρχει τέτοιο,
ώστε να ικανοποιείται η
Θεωρούμε την συνάρτηση , όπου
με αν και αν ,
με τύπο
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Επίσης,
.
Συνεπώς, από το Θεώρημα του , υπάρχει
τέτοιο, ώστε , όπως θέλαμε.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
Αφού θα είναι Η δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την καιthanasis kopadis έγραψε:3)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα . Έστω ότι τα σημεία και της ορίζουν ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και ότι η δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη .
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της με παράλληλο στον άξονα τέτοια ώστε
επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι:
για κάθε ή
για κάθε
Υποθέτουμε ότι για κάθε
Έστω με
Η είναι συνεχής στο διάστημα και
δηλαδή
Επομένως, από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τέτοιος ώστε:
Τα σημεία και όπου
ανήκουν στην είναι και
Σημείωση: Αν η μπορεί να τέμνει την και σε άλλο σημείο, τότε:
Τότε το
Στράτης Αντωνέας
Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
Μια άλλη λύση (με λίγη Ευκλείδεια γεωμετρία).thanasis kopadis έγραψε:...
2)
Έστω συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων της υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε
Ας θεωρήσουμε και , . Χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας είναι .
Αρκεί να δείξουμε ότι η μεσοκάθετος του τέμνει την .
Αν , αυτό είναι προφανές, από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: το είναι το .
Αν , θεωρούμε το ρόμβο , δηλαδή με μια διαγώνιο να είναι το , το έχει τετμημένη και το έχει τετμημένη .
Έστω η συνεχής (γραμμική) συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση το ευθύγραμμο τμήμα . (To τμήμα ανήκει στη μεσοκάθετο του ).
Θέτουμε με και παρατηρούμε ότι , οπότε το συμπέρασμα έπεται από το θεώρημα Bolzano.
Edit (12:51πμ): Διόρθωση του τετραγώνου σε ρόμβο.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- thanasis kopadis
- Δημοσιεύσεις: 149
- Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
- Επικοινωνία:
Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
Αφού η απόσταση των είναι ίση με θα ισχύει ότι: , δηλαδή . Αρκεί να δείξουμε ότιthanasis kopadis έγραψε:4)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα με και . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία στο με απόσταση των τετμημενων ίση με τέτοια ώστε
Θεωρούμε τη συνάρτηση στο
Η είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών, με και .
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και μετά από πράξεις προκύπτει ότι: , λόγω υπόθεσης. Άρα από Θ. Bolzano θα υπάρχει τέτοιο ώστε και άρα αυτό που θέλαμε.
«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
- thanasis kopadis
- Δημοσιεύσεις: 149
- Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
- Επικοινωνία:
Re: Θ. Bolzano και ύπαρξη σημείων
Aς δώσω και την απάντηση στο τελευταίο ερώτημα, ώστε να είναι ολοκληρωμένο. Ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις όσων ασχολήθηκαν.thanasis kopadis έγραψε:
5)
Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο διάστημα , της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ορθογώνιο , όπου η αρχή των αξόνων και . Να δείξετε ότι η έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με καθεμία από τις διαγώνιες και του ορθογωνίου.
Αφού το είναι ορθογώνιο, θα είναι . Η διαγώνιος έχει συντελεστή διεύθυνσης και άρα εξίσωση , ενώ αντίστοιχα η διαγώνιος έχει και εξίσωση . Θεωρώ τις συναρτήσεις και και εφαρμόζω το Θ.Bolzano για κάθεμια από αυτές στο διάστημα . To δεδομένο που πρέπει να λάβω υπόψη, ώστε να ισχύει και η δεύτερη προυπόθεση του Θ.Bolzano είναι ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το (λόγω του ορθογωνίου), οπότε και .
«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 6 επισκέπτες