Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .

2. Δίνονται, σε ορισμένη θέση στον χώρο, ευθεία $\displaystyle{(\eta)}$ και πάνω σε αυτή δυο επίσης ορισμένα σημεία $\displaystyle{A,B }$ για τα οποία $\displaystyle{AB=\alpha}$
όπου $\displaystyle{\alpha}$ τμήμα δοσμένου μήκους. Φέρνουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{A\varepsilon_1,B\varepsilon_2}$ κάθετες προς την $\displaystyle{(\eta)}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ και ορθογώνιες μεταξύ τους.
Πάνω στην $\displaystyle{A\varepsilon_1}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{K}$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{AK=\frac{2\alpha}{3}}$ . Σημείο $\displaystyle{\Delta}$ διαγράφει το τμήμα $\displaystyle{AK}$ .
Για κάθε θέση του $\displaystyle{\Delta}$ ορίζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\varepsilon_2}$ αντίστοιχο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ τέτοιο ώστε το $\displaystyle{B\Gamma}$ να είναι μέσο ανάλογο των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{\Delta K}$ και μετά φέρνουμε την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ .
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ καθώς και ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ .
β) Για ποια θέση του $\displaystyle{\Delta}$ (μέσα στο τμήμα $\displaystyle{AK}$ ) ο όγκος του παραπάνω τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ γίνεται μέγιστος;
Ποια είναι τότε η γωνία των ευθειών $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ ;

3. Δίνονται οι παραστάσεις :
$\displaystyle{A=\eta\mu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x+\eta\mu^2\nu x}$
$\displaystyle{B=\sigma \upsilon \nu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x+\sigma \upsilon \nu^2\nu x}$
α) Να αποδειχθεί οτι οι παραστάσεις $\displaystyle{A,B}$ είναι ανεξάρτητες του $\displaystyle{\nu}$
β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο $\displaystyle{y=A^3+(1-B)^3}$ όπου $\displaystyle{A,B}$ οι παραπάνω παραστάσεις.
γ) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{A^3+(1-B)^3=\frac{5}{8}}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε:
3. Δίνονται οι παραστάσεις :
$\displaystyle{A=\eta\mu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x+\eta\mu^2\nu x}$
$\displaystyle{B=\sigma \upsilon \nu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x+\sigma \upsilon \nu^2\nu x}$
α) Να αποδειχθεί οτι οι παραστάσεις $\displaystyle{A,B}$ είναι ανεξάρτητες του $\displaystyle{\nu}$
β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο $\displaystyle{y=A^3+(1-B)^3}$ όπου $\displaystyle{A,B}$ οι παραπάνω παραστάσεις.
γ) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{A^3+(1-B)^3=\frac{5}{8}}$ .

α) $\displaystyle{A+B=$

$\eta\mu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x+\eta\mu^2\nu x+$

$+\sigma \upsilon \nu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x+\sigma \upsilon \nu^2\nu x=$

$\eta\mu^2(\nu+1)x+\sigma \upsilon \nu^2(\nu+1)x+\eta\mu^2\nu x+\sigma \upsilon \nu^2\nu x-$

$-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x-2\sigma \upsilon \nu x\eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x=$

$1+1-2\sigma \upsilon \nu x \left [ \eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x\right+ \sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x ]=$

$2-2\sigma \upsilon \nu x\cdot\sigma \upsilon( \nu+1-\nu) x=2-2\sigma \upsilon \nu x\cdot\sigma \upsilon \nu x=$

$2-2\sigma \upsilon \nu^{2} x=2 \left ( 1-\sigma \upsilon \nu^{2} x \right )=2\eta\mu ^{2} x$

$\displaystyle B-A=$

$\sigma \upsilon \nu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x+\sigma \upsilon \nu^2\nu x-\left [ \eta\mu^2(\nu+1)x-2\sigma \upsilon \nu x\eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x+\eta\mu^2\nu x} \right ]=$

$\sigma \upsilon \nu^2(\nu+1)x-\eta\mu^2(\nu+1)x+\sigma \upsilon \nu^2\nu x-\eta\mu^2\nu x-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu (\nu+1) x\sigma \upsilon \nu \nu x+$

$+2\sigma \upsilon \nu x\eta\mu(\nu+1) x\eta\mu \nu x=$

$\sigma \upsilon \nu \left [ 2\left ( \nu +1 \right )x \right ]+\sigma \upsilon \nu 2\nu x-2\sigma \upsilon \nu x\left [ \sigma \upsilon \nu \left ( \nu +1 \right )x\sigma \upsilon \nu \nu x-\eta \mu \left ( \nu +1 \right )x\eta \mu \nu x \right ]=$

$\sigma \upsilon \nu \left ( 2\nu x+2x \right )+\sigma \upsilon 2 \nu x-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu\left ( 2\nu +1 \right )x=$

$\displaystyle 2\sigma \upsilon \nu \frac{4\nu x+2x}{2}\sigma \upsilon \nu\frac{2x}{2}-2\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu \left ( 2\nu +1 \right )x=0$

Άρα πλέον προκύπτει πολύ εύκολα ότι $B=A=\eta \mu ^{2}x.$
Aποδείχθηκε ότι οι παραστάσεις $\displaystyle{A,B}$ είναι ανεξάρτητες του $\displaystyle{\nu}.$

β) Ας βρούμε τον τύπο της συνάρτησης

$y=\left ( \eta \mu ^{2} x \right )^{3} + \left ( 1-\eta \mu ^{2}x \right )^{3}= \left ( \eta \mu ^{2} x \right )^{3} +\left ( \sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )^{3}=\left ( \eta \mu ^{2}x+\sigma\upsilon \nu ^{2}x )\left ( \eta \mu ^{4}x-\eta \mu ^{2}x\cdot \sigma\upsilon \nu ^{2}x+\sigma\upsilon \nu ^{4}x\right )=$

$1\cdot\left ( \eta \mu ^{4}x-\eta \mu ^{2}x\cdot \sigma\upsilon \nu ^{2}x+\sigma\upsilon \nu ^{4}x\right )= \eta \mu ^{4}x-\eta \mu ^{2}x\cdot \sigma\upsilon \nu ^{2}x+\sigma\upsilon \nu ^{4}x=$

$\displaystyle\left ( \eta \mu ^{2}x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )^{4}-2\eta \mu ^{2}x\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}x-\eta \mu ^{2}x\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}x=1-3\left ( \eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x \right )^{2}=$

$\displaystyle1-3\cdot \frac{1}{4}\cdot \left ( 2\cdot \eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x \right )^{2}=1-\frac{3}{4}\cdot\eta \mu^{2}2 x$

Για κάθε πραγματικό αριθμό

ισχύει ότι

$\displaystyle -1\leq \eta \mu 2x<\leq 1\Rightarrow 0\leq \eta \mu ^{2}2x\leq 1\Rightarrow -\frac{3}{4}\leq -\frac{3}{4} \eta \mu ^{2}2x\leq 0\Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow 1-\frac{3}{4}\leq 1-\frac{3}{4} \eta \mu ^{2}2x\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\leq y\leq 1$

To ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle \left [ \frac{1}{4},1 \right ]$

γ) Έχουμε να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle 1-\frac{3}{4}\cdot\eta \mu^{2}2 x=\frac{5}{8}$ η οποία είναι ισοδύναμη με την $2\cdot\eta \mu^{2}2 x=1$ που είναι ισοδύναμη με την $1-2\cdot\eta \mu^{2}2 x=0$ που γράφεται ισοδύναμα $\sigma \upsilon \nu 4x=0.$
Οι λύσεις δίνονται από τον τύπο $\displaystyle 4x=k\pi +\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}+\frac{\pi }{8}$ , με

ακέραιο.

#3

parmenides51 έγραψε:
.........................................
2. Δίνονται, σε ορισμένη θέση στον χώρο, ευθεία $\displaystyle{(\eta)}$ και πάνω σε αυτή δυο επίσης ορισμένα σημεία $\displaystyle{A,B }$ για τα οποία $\displaystyle{AB=\alpha}$
όπου $\displaystyle{\alpha}$ τμήμα δοσμένου μήκους. Φέρνουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{A\varepsilon_1,B\varepsilon_2}$ κάθετες προς την $\displaystyle{(\eta)}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ και ορθογώνιες μεταξύ τους.
Πάνω στην $\displaystyle{A\varepsilon_1}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{K}$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{AK=\frac{2\alpha}{3}}$ . Σημείο $\displaystyle{\Delta}$ διαγράφει το τμήμα $\displaystyle{AK}$ .
Για κάθε θέση του $\displaystyle{\Delta}$ ορίζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\varepsilon_2}$ αντίστοιχο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ τέτοιο ώστε το $\displaystyle{B\Gamma}$ να είναι μέσο ανάλογο των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{\Delta K}$ και μετά φέρνουμε την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ .
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ καθώς και ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ .
β) Για ποια θέση του $\displaystyle{\Delta}$ (μέσα στο τμήμα $\displaystyle{AK}$ ) ο όγκος του παραπάνω τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ γίνεται μέγιστος;
Ποια είναι τότε η γωνία των ευθειών $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ ;
....................................................

1ο ερώτημα:
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Στερεομετρία 1.png (68.95 KiB) Προβλήθηκε 2702 φορές

Στο σχήμα αυτό είναι:

$\displaystyle{AB\perp e_1, \ \ AB \perp e_1, \ \ e_1 \perp e_2 \ \ (1)}$

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{AB=a, \ \ AK=\frac{2a}{3},\ \ BC=\sqrt{AD\cdot DK} \ \ (2)}$

όπου $\displaystyle{D}$ τυχαίο σημείο του τμήματος $\displaystyle{AK}$ .

Αν τώρα στο τυχαίο σημείο $\displaystyle{D}$ υψώσουμε το κάθετο τμήμα $\displaystyle{DS}$ ώστε:

$\displaystyle{DS=//BC\ \ (3)}$

τότε από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ο γ. τόπος του σημείου $\displaystyle{S}$

θα είναι το ημικύκλιο που ανήκει στο επίπεδο της $\displaystyle{Ae_1}$ και της διακεκομένης γραμμής

και το οποίο έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AK}$ .

Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{DBSC}$ λόγω της (3) είναι παραλληλόγραμμο

και συνεπώς το μέσο της $\displaystyle{CD}$ είναι και μέσο της $\displaystyle{BS}$ .

Επομένως ο ζητούμενος γ. τόπος του μέσου $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{CD}$ θα είναι το ομοιόθετο

του ημικυκλίου που αναφέραμε με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο $\displaystyle{B}$ και λόγο ομοιοθεσίας

$\displaystyle{\lambda =\frac{1}{2}}$ ,

όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα:

: Στερεομετρία 2.png (89.17 KiB) Προβλήθηκε 2689 φορές

Η συνέχεια σε επόμενο μήνυμα....

Κώστας Δόρτσιος

#4

parmenides51 έγραψε: ...............................................
2. Δίνονται, σε ορισμένη θέση στον χώρο, ευθεία $\displaystyle{(\eta)}$ και πάνω σε αυτή δυο επίσης ορισμένα σημεία $\displaystyle{A,B }$ για τα οποία $\displaystyle{AB=\alpha}$
όπου $\displaystyle{\alpha}$ τμήμα δοσμένου μήκους. Φέρνουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{A\varepsilon_1,B\varepsilon_2}$ κάθετες προς την $\displaystyle{(\eta)}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ και ορθογώνιες μεταξύ τους.
Πάνω στην $\displaystyle{A\varepsilon_1}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{K}$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{AK=\frac{2\alpha}{3}}$ . Σημείο $\displaystyle{\Delta}$ διαγράφει το τμήμα $\displaystyle{AK}$ .
Για κάθε θέση του $\displaystyle{\Delta}$ ορίζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\varepsilon_2}$ αντίστοιχο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ τέτοιο ώστε το $\displaystyle{B\Gamma}$ να είναι μέσο ανάλογο των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{\Delta K}$ και μετά φέρνουμε την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ .

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ καθώς και ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ .

β) Για ποια θέση του $\displaystyle{\Delta}$ (μέσα στο τμήμα $\displaystyle{AK}$ ) ο όγκος του παραπάνω τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ γίνεται μέγιστος;

Ποια είναι τότε η γωνία των ευθειών $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ και $\displaystyle{AB.}$
.............................................

Συνέχεια .....

Εύρεση του γ. τόπου του κέντρου βάρους του τετραέδρου $\displaystyle{D\cdot ABC}$

: Στερεομετρία 3.png (89.22 KiB) Προβλήθηκε 2625 φορές

Είναι γνωστό ότι το κέντρο βάρους ενός τετραέδρου είναι το κοινό σημείο τομής των τεσσάρων τμημάτων(διαμέσων) που ενώνουν
κάθε κορυφή του τετραέδρου με το κ. βάρους της απέναντι τριγωνικής έδρας.

Ακόμα γνωρίζουμε ότι το κέντρο βάρους ενός τετραέδρου είναι το κοινό σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα μέσα
δύο απέναντι ακμών και μάλιστα αυτό το κέντρο βάρους διχοτομεί τα τμήματα αυτά.

Σύμφωνα με τη δεύτερη πρόταση το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου $\displaystyle{D\cdot ABC}$ είναι το μέσο $\displaystyle{N}$ του τμήματος $\displaystyle{MM_o}$ .

Επομένως ο γ. τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$ ,δηλαδή του ζητούμενου βαρυκέντρου είναι το ομοιόθετο του ημικυκλίου στο οποίο κινείται
το σημείο $\displaystyle{M}$ με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο $\displaystyle{M_o}$ (το μέσο του τμήματος $\displaystyle{AB}$ ) και λόγο ίσο με

$\displaystyle{n=\frac{1}{2}}$

Δηλαδή ο ζητούμενος τόπος είναι το ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα $\displaystyle{M_oN_1}$ , όπου $\displaystyle{N_1}$ το μέσο του τμήματος $\displaystyle{BT}$ ,
με $\displaystyle{T}$ το μέσο του $\displaystyle{AK}$ .

Συνεχίζεται...

Κώστας Δόρτσιος

#5

parmenides51 έγραψε: ............................................
2. Δίνονται, σε ορισμένη θέση στον χώρο, ευθεία $\displaystyle{(\eta)}$ και πάνω σε αυτή δυο επίσης ορισμένα σημεία $\displaystyle{A,B }$ για τα οποία $\displaystyle{AB=\alpha}$
όπου $\displaystyle{\alpha}$ τμήμα δοσμένου μήκους. Φέρνουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{A\varepsilon_1,B\varepsilon_2}$ κάθετες προς την $\displaystyle{(\eta)}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ και ορθογώνιες μεταξύ τους.
Πάνω στην $\displaystyle{A\varepsilon_1}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{K}$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{AK=\frac{2\alpha}{3}}$ . Σημείο $\displaystyle{\Delta}$ διαγράφει το τμήμα $\displaystyle{AK}$ .
Για κάθε θέση του $\displaystyle{\Delta}$ ορίζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\varepsilon_2}$ αντίστοιχο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ τέτοιο ώστε το $\displaystyle{B\Gamma}$ να είναι μέσο ανάλογο των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{\Delta K}$ και μετά φέρνουμε την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ .
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ καθώς και ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ .
β) Για ποια θέση του $\displaystyle{\Delta}$ (μέσα στο τμήμα $\displaystyle{AK}$ ) ο όγκος του παραπάνω τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ γίνεται μέγιστος;
Ποια είναι τότε η γωνία των ευθειών $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ ;
............................................

Συνέχεια...
Μελέτη της μεταβολής του όγκου του τετραέδρου $\displaystyle{D.ABC}$

: Στερεομετρία 4.png (46.74 KiB) Προβλήθηκε 2568 φορές

Δουλεύοντας τώρα με το λογισμικό του Geogebra έχουμε στο ανωτέρω σχήμα το τετράεδρο $\displaystyle{D. ABC}$
Αν θέσουμε:

$\displaystyle{AD=x,\ \ DK=y=\frac{2a}{3}-x} \ \ (1)$

και θεωρήσουμε ως άξονα των $\displaystyle{x'x}$ την ευθεία που ορίζει η ημιευθεία $\displaystyle{Ae_1}$ τότε σύμφωνα
και με τα δεδομένα του προβλήματος θα είναι:

$\displaystyle{V(D.ABC)=\frac{1}{3}E(ABC)\cdot (AD)=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\cdot a \cdot \sqrt{xy})x}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{V(D.ABC)=f(x)=\frac{1}{6}a\sqrt{x^3(\frac{2a}{3}-x)}, \ \ 0\leq x \leq \frac{2a}{3}\ \ (2)}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ εύκολα μελετιέται με παραγώγους και το μέγιστο το λαμβάνει για

$\displaystyle{x_o=\frac{a}{2}\ \ (3)}$

Με τη βοήθεια του λογισμικού έχω κάνει και το γράφημα αυτής στο επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ το οποίο εμφανίζω

στο ανωτέρω σχήμα. Σ' αυτό το σχήμα όταν το μεταβλητό σημείο $\displaystyle{D}$ κινείται κατά μήκος του τμήματος $\displaystyle{AK}$ ο όγκος

περιγράφεται στα σημεία του γραφήματος αυτού και όταν αυτό διέλθει από το σημεί $\displaystyle{D_o(\frac{a}{2},0)}$ ο όγκος γίνεται

μέγιστος, ενώ στα άκρα $\displaystyle{A,K}$ μηδενίζεται.

Συνεχίζεται....

Κώστας Δόρτσιος

#6

parmenides51 έγραψε:
..........................................
2. Δίνονται, σε ορισμένη θέση στον χώρο, ευθεία $\displaystyle{(\eta)}$ και πάνω σε αυτή δυο επίσης ορισμένα σημεία $\displaystyle{A,B }$ για τα οποία $\displaystyle{AB=\alpha}$
όπου $\displaystyle{\alpha}$ τμήμα δοσμένου μήκους. Φέρνουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{A\varepsilon_1,B\varepsilon_2}$ κάθετες προς την $\displaystyle{(\eta)}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ και ορθογώνιες μεταξύ τους.
Πάνω στην $\displaystyle{A\varepsilon_1}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{K}$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{AK=\frac{2\alpha}{3}}$ . Σημείο $\displaystyle{\Delta}$ διαγράφει το τμήμα $\displaystyle{AK}$ .
Για κάθε θέση του $\displaystyle{\Delta}$ ορίζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\varepsilon_2}$ αντίστοιχο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ τέτοιο ώστε το $\displaystyle{B\Gamma}$ να είναι μέσο ανάλογο των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{\Delta K}$ και μετά φέρνουμε την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ .
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ καθώς και ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ .
β) Για ποια θέση του $\displaystyle{\Delta}$ (μέσα στο τμήμα $\displaystyle{AK}$ ) ο όγκος του παραπάνω τετραέδρου $\displaystyle{\Delta.AB\Gamma}$ γίνεται μέγιστος;
Ποια είναι τότε η γωνία των ευθειών $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ ;
...............................................

Συνέχεια...
Υπολογισμός της γωνίας των ευθειών που ορίζουν τα τμήματα $\displaystyle{AB, DC}$ :

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:(γυρίζω στο λογισμικό Cabri3D)

: Στερεομετρία 5.PNG (74.38 KiB) Προβλήθηκε 2524 φορές

Από το σημείο $\displaystyle{C}$ φέρω την κάθετη $\displaystyle{CQ}$ στο επίπεδο των $\displaystyle{AQ,AK}$ .
Έτσι δημιουργούνται δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα $\displaystyle{CDQ}$ και $\displaystyle{AQD}$ .
Όμως είναι:

$\displaystyle{CQ=a}\ \ (1)$

$\displaystyle{AD=\frac{a}{2}}\ \ (2)$

$\displaystyle{DK=AK-AD=\frac{2a}{3}-\frac{a}{2}=\frac{a}{6} }\ \ (3)$

$\displaystyle{AQ=BC=\sqrt{AD \cdot DK}=\sqrt{\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{6}}=\frac{a\sqrt{3}}{6} }} \ \ (4)$

Από τις (2) και (4) βρίσκουμε την υποτείνουσα $\displaystyle{DQ}$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{ADQ}$ :

$\displaystyle{DQ=\frac{a\sqrt{3}}{3} \ \ (5)}$

Από τις (1) και (5) βρίσκουμε:

$\displaystyle{\frac{DQ}{CQ}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$

δηλαδή η ζητούμενη γωνία είναι ίση με $\displaystyle{30^o}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Teh · #7

parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .

Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση. Θέτοντας x=0

στη δοσμένη, έχουμε: P(f(0))=f(0)=c

, αφού

. Τότε

και άρα το πολυώνυμο Q(x)=P(x)-x

έχει ρίζα το

.

Άρα

για κάποιο πολυώνυμο R(x)

.

Επομένως P(x)=(x-c)R(x)+x

, όπου για x=0

είναι:

.

Από εδώ είτε f(0)=0

, είτε

.

$\bullet\ f(0)=0\Leftrightarrow\ P(x)=xR(x)+x$ , όπου με αντικατάσταση στη δοσμένη έχουμε: f(x)R(f(x))+f(x)=f(xR(x)+x)

.

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση

που να ικανοποιεί τη σχέση f(x)>x

, $\forall\ x>0$ και να προσδιορίσουμε τα πολυώνυμα P(x)

. (Μάλλον όμοια και για την περίπτωση R(0)=0

)

#8

Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
...

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση

Για δες το ξανά αυτό.

Teh · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 8:22 am
Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
...

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση
Για δες το ξανά αυτό.

Άρα πρέπει να βρούμε τα πολυώνυμα P(x)

συναρτήσει της

;

#10

Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση. Θέτοντας στη δοσμένη, έχουμε: , αφού . Τότε και άρα το πολυώνυμο έχει ρίζα το .

Άρα για κάποιο πολυώνυμο .

Επομένως , όπου για είναι: .

Από εδώ είτε , είτε .

$\bullet\ f(0)=0\Leftrightarrow\ P(x)=xR(x)+x$ , όπου με αντικατάσταση στη δοσμένη έχουμε: .

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση , $\forall\ x>0$ και να προσδιορίσουμε τα πολυώνυμα . (Μάλλον όμοια και για την περίπτωση )

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

socrates έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 5:15 pm
Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση. Θέτοντας στη δοσμένη, έχουμε: , αφού . Τότε και άρα το πολυώνυμο έχει ρίζα το .

Άρα για κάποιο πολυώνυμο .

Επομένως , όπου για είναι: .

Από εδώ είτε , είτε .

$\bullet\ f(0)=0\Leftrightarrow\ P(x)=xR(x)+x$ , όπου με αντικατάσταση στη δοσμένη έχουμε: .

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση , $\forall\ x>0$ και να προσδιορίσουμε τα πολυώνυμα . (Μάλλον όμοια και για την περίπτωση )

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Είναι Επίσης και γενικά
Τι μπορούμε να πούμε για το πολυώνυμο

Σημείωση για το Hint

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Teh · #12

socrates έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 5:15 pm
Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση. Θέτοντας στη δοσμένη, έχουμε: , αφού . Τότε και άρα το πολυώνυμο έχει ρίζα το .

Άρα για κάποιο πολυώνυμο .

Επομένως , όπου για είναι: .

Από εδώ είτε , είτε .

$\bullet\ f(0)=0\Leftrightarrow\ P(x)=xR(x)+x$ , όπου με αντικατάσταση στη δοσμένη έχουμε: .

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση , $\forall\ x>0$ και να προσδιορίσουμε τα πολυώνυμα . (Μάλλον όμοια και για την περίπτωση )

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Είναι Επίσης και γενικά
Τι μπορούμε να πούμε για το πολυώνυμο

Αξιοποιώντας το hint έχουμε: Έστω degP(x)=n

και συμβολίζουμε $a_1=f(0), a_2=f(f(0)), ... a_k=f^{{\circ}k}(0)$ .

Παρατηρούμε ότι $P(a_k)=a_k, \forall\ k\in\mathbb{N}^{*}$

Άρα, αφού degQ(x)=n

και το πολυώνυμο Q(x)

έχει

ρίζες, πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Επομένως, $Q(x)=0\Leftrightarrow P(x)=x$ , που ικανοποιεί τη δοσμένη σχέση για οποιαδήποτε συνάρτηση

, τέτοια ώστε $f(x)>x, \forall\ x>0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 6:19 pm
socrates έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 5:15 pm
Teh έγραψε: Κυρ Μαρ 15, 2020 1:50 am
parmenides51 έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2013 4:45 pm 1. Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(f(x))=f(P(x))}$ όπου $\displaystyle{P(0)=0}$
και $\displaystyle{f(x)}$ μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(x)>x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
Μια ιδέα που ίσως οδηγεί σε λύση. Θέτοντας στη δοσμένη, έχουμε: , αφού . Τότε και άρα το πολυώνυμο έχει ρίζα το .

Άρα για κάποιο πολυώνυμο .

Επομένως , όπου για είναι: .

Από εδώ είτε , είτε .

$\bullet\ f(0)=0\Leftrightarrow\ P(x)=xR(x)+x$ , όπου με αντικατάσταση στη δοσμένη έχουμε: .

Μέχρι εδώ έχω σκεφτεί. Ίσως από την τελευταία μπορούμε να βρούμε κάποια συνάρτηση που να ικανοποιεί τη σχέση , $\forall\ x>0$ και να προσδιορίσουμε τα πολυώνυμα . (Μάλλον όμοια και για την περίπτωση )

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Είναι Επίσης και γενικά
Τι μπορούμε να πούμε για το πολυώνυμο

Αξιοποιώντας το hint έχουμε: Έστω και συμβολίζουμε $a_1=f(0), a_2=f(f(0)), ... a_k=f^{{\circ}k}(0)$ .

Παρατηρούμε ότι $P(a_k)=a_k, \forall\ k\in\mathbb{N}^{*}$

Άρα, αφού και το πολυώνυμο έχει ρίζες, πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Επομένως, $Q(x)=0\Leftrightarrow P(x)=x$ , που ικανοποιεί τη δοσμένη σχέση για οποιαδήποτε συνάρτηση , τέτοια ώστε $f(x)>x, \forall\ x>0$

Η λύση προυποθέτει ότι $f(x)> x,x\geq 0$
κάτι που δεν δίνεται.

π.χ μπορεί να είναι f(0)=0

η

#14

Τα έγραφα τότε σαν μαθητής Γ Λυκείου. Το πρώτο θέμα ούτε που το ακούμπησα. Τα άλλα δύο τα έλυσα αλλά την ομοιοθεσία στο δεύτερο την είδα αφού τελείωσα, οπότε είχα μία πιο μακροσκελή λύση. Για το λόγο αυτό δεν ήμουν ικανοποιημένος, Παρόλα αυτά διακρίθηκα με δεύτερο Βραβείο το οποίο ομολογώ πως δεν το περίμενα. Ήταν όμως ο βασικός λόγος που επέλεξα να σπουδάσω μαθηματικά.

Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1977-78 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση