Τρίγωνο του Sierpinski

Alex1994 · #1

Για κάθε περιοχή στο

στο $\mathbb R^2$ ορίζουμε $I(S)=\int_{S}(x^2+y^2) dA$ και γράφουμε το εμβαδό της

ως

. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο

με κέντρο την αρχή των αξόνων και πλευρά

και ορίζουμε την εξής ακολουθία περιοχών:
i) T=To

ii) Το $T_{n+1}$ προκύπτει άμα πάρουμε ομοιόθετα του $T_{n}$ με λόγο 1/2

και τα τοποθετήσουμε ώστε να ακουμπάνε στις πλευρές του

και στις κορυφές του.
(Δηλαδή είναι η ακολουθία σχημάτων που δίνει το Τρίγωνο του Sierpinski)
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει και να υπολογισθεί το όριο:
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{I(T_{n})}{|T_{n}|}$

Alex1994 · #2

Επαναφορά. Το πρόβλημα είναι τροποποίηση από ένα Harvard Problem of the Week, απλά εκείνο ήταν πρόβλημα φυσικής (το I(S)

είναι η ροπή αδράνειας) και ήταν γραμμένο με λίγο πιο "απλό" τρόπο. Βέβαια, υπήρχε το πρόβλημα ότι η δοσμένη λύση δεν ήταν μαθηματικά αποδεκτή, αλλά με λίγες τροποποιήσεις δουλεύει.

Τρίγωνο του Sierpinski

Τρίγωνο του Sierpinski

Re: Τρίγωνο του Sierpinski

Μέλη σε σύνδεση