ΣΥΣΤΗΜΑ 25

nikoszan · #1

Να λυθεί το συστημα
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{{y + z}} = \frac{6}{5}\\ \frac{1}{y} + \frac{1}{{z + x}} = \frac{3}{4}\\ \frac{1}{z} + \frac{1}{{x + y}} = \frac{2}{3}\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.\\ N.Z. \end{array}}$

#2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το συστημα
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{{y + z}} = \frac{6}{5}\\ \frac{1}{y} + \frac{1}{{z + x}} = \frac{3}{4}\\ \frac{1}{z} + \frac{1}{{x + y}} = \frac{2}{3}\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.\\ N.Z. \end{array}}$

Καλησπέρα Νίκο. Πολύ γράψιμο...Θα επιλέξω να παρουσιάσω τα highlights!

Λοιπόν αρχικά πρέπει και αρκεί $x,y,z \ne 0.$

Τώρα αν τα κάνω ομώνυμα έχω:
$x+y+z=\frac{6}{5}x(y+z)$
$x+y+z=\frac{3}{4}y(x+z)$
$x+y+z=\frac{2}{3}z(x+y)$

Εξισώνοντας πρώτη με δεύτερη, δεύτερη με τρίτη,τρίτη με πρώτη εξίσωση έχω, μετά από πράξεις:

9xy-15yz+24xz=0

Στη συνέχεια αφού όλες έχουν κοινό όρο το $\displaystyle{9xy}$ τις αφαιρώ ανα ζεύγη και όλες (μα όλες!) δίνουν $\displaystyle{y=2x.}$

Τότε γυρνάω στην τρίτη αρχική και αντικαθιστώ. Προκύπτει πως $\displaystyle{z=\frac{3x}{2x-1}}$ (εύκολα απορρίπτουμε την περίπτωση $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$ )

Αντικάθιστούμε τώρα στην πρώτη αρχική και λαμβάνουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{2x+\frac{3x}{2x-1}}=\frac{2}{3}}$

Μετά τις πράξεις και τις απλοποιήσεις πρκύπτει $\displaystyle{x=1.}$

Τότε $\displaystyle{y=2}$ και $\displaystyle{z=3.}$

Λύση δεκτή αφού επαληθεύει τις αρχικές.

Ελπίζω να μη μου διέφυγε κάποια άλλη! Γιατί δύσκολα θα διορθώσω με τα μέσα που έχω στη διαθεσή μου.

#3

Ωραία λύση.

Θέλω μόνο να κάνω ένα σχόλιο στο σημείο

chris_gatos έγραψε:<...>

Στη συνέχεια αφού όλες έχουν κοινό όρο το τις αφαιρώ ανα ζεύγη και όλες (μα όλες!) δίνουν

γιατί μου τράβηξε την προσοχή και έψαξα για ερμηνεία.

Να, λοιπόν, η ερμηνεία του περίεργου φαινομένου που επεσήμανε ο Χρήστος.

Η τρίτη εξίσωση είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων:

$9xy-5yz+4xz = \frac {3}{8}\left ( 9xy-15yz+24xz\right)+ \frac {5}{8}\left ( 9xy+yz-8xz\right)$ , οπότε "όλα καλά". Δηλαδή η εισαγωγή της τρίτης εξίσωσης δεν δίνει τελικά νέα πληροφορία. Ας προσθέσω, σκεπτόμενος προς τα πίσω, ότι αυτό είναι αναμενόμενο γιατί αν οι τρεις εξισώσεις ήσαν ανεξάρτητες, τότε το παραπάνω σύστημα ως γραμμικό(!) των μεταβλητών $xy, \, yz, \, zx$ και ομογενές, θα είχε μοναδική λύση την xy=yz=zx=0

.

Ευχαριστούμε Χρήστο για την λύση και την επισήμανση.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΣΥΣΤΗΜΑ 25

ΣΥΣΤΗΜΑ 25

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 25

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 25

Μέλη σε σύνδεση