Άρτια συνάρτηση

#1

Η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}}$ ικανοποιεί τη σχέση f(f(x))+f(x) =x^4+3x^2+3 ,

για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι άρτια.

Bern · #2

Πρώτα απ' όλα βλέπουμε ότι η

είναι 1-1 σε καθένα από τα $(-\infty,0]$ και $[0,+\infty)$ , άρα και γνησίως μονότονη σε καθένα από αυτά.

1. Η

δε μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα και στα δυο. Αλλιώς, θα ήταν γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb R$ κι επομένως η συνάρτηση $f\circ f+f$ θα ήταν γν. αύξουσα στο $\mathbb R$ .

2. H

δε μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα και στα δυο. Διαφορετικά θα ήταν γν. φθίνουσα σ' όλο το $\mathbb R$ και θα υπήρχε (μοναδικό) x_0

ώστε

. Τότε, το x_0

είναι ρίζα της x^4+3x^2-2x+3=0

, άτοπο.

3. Η εξίσωση $f(x)=f(\xi)$ έχει το πολύ δυο ρίζες: είτε $x= \xi$ ή $x=-\xi$ .

Έστω τώρα ότι η

δεν είναι άρτια. Τότε, υπάρχει a>0

ώστε $f(-a)\neq f(a)$ . Ας υποθέσουμε ότι f(-a)>f(a)

(όμοια η άλλη περίπτωση). Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

(α)

αύξουσα στο [-a, 0]

και φθίνουσα στο [0,a]

. Τότε , υπάρχει $t\in (0,a)$ ώστε f(t)=f(-a)

, άτοπο από το 3.

(β)

φθίνουσα στο [-a,0]

και αύξουσα στο [0,a]

. Tότε, υπάρχει $s\in (-a, 0)$ ώστε f(s)=f(a)

, άτοπο και πάλι.

Η απόδειξη δουλεύει και με σταθερό όρο το

αντί του

και τότε παράδειγμα μιας τέτοιας

είναι η

.

kostas_zervos · #3

socrates έγραψε:Η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}}$ ικανοποιεί τη σχέση για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι άρτια.

Η συνάρτηση g(x)=x^4+3x^2+3

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και παραγωγίσιμη με f'(x)=x(4x^2+6)

.

Άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,0]$ , γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ και έχει ελάχιστο το g(0)=3

.

Έστω $x,y\leq 0$ με f(x)=f(y)

, τότε

και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

$f(f(x))+f(x)=f(f(y))+f(y)\Rightarrow g(x)=g(y)\Rightarrow x=y$ αφού η

είναι

στο $(-\infty,0]$ .

Άρα η

είναι

στο $(-\infty,0]$ και ως συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη.

Όμοια είναι γνησίως μονότονη στο $[0,+\infty)$ .

Αν ήταν γνησίως αύξουσα σε όλο το $\Bbb{R}$ , τότε και η f(f(x))

θα ήταν γνησίως αύξουσα στο $\Bbb{R}$ , άρα και η f(f(x))+f(x)=g(x)

θα ήταν γνησίως αύξουσα στο $\Bbb{R}$ , ΑΤΟΠΟ.

Αν ήταν γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\Bbb{R}$ τότε η υπάρχει $x_0\in\Bbb{R}$ με f(x_0)=x_0

, γιατί αν h(x)=f(x)-x

και για κάποιο $b\in\Bbb{R}$ ισχύει ότι f(b)>b

, τότε

επομένως

και

, άρα υπάρχει $x_0\in(b,f(b))$ ώστε $h(x_0)=0\iff f(x_0)=x_0$ (όμοια αν για κάποιο $b\in\Bbb{R}$ ισχύει ότι f(b)<b

).

Άρα

επομένως $x_0+x_0=x_0^4+3x_0^2+3\iff x_0^4+3x_0^2-2x_0+3=0$ που είναι αδύνατο γιατί:

x_0^4+3x_0^2-2x_0+3=x_0^4+2x_0^2+x_0^2-2x_0+1+2=x_0^4+2x_0^2+(x_0-1)^2+2>0

.

Άρα έχει διαφορετικό είδος μονοτονίας στα $(-\infty,0]$ στα $[0,+\infty)$ .

Αν είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[0,\infty)$ , τότε έχει μέγιστο το f(0)

, άρα $f(x)\leq f(0)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ , επομένως $f(f(x))+f(x)\leq 2f(0)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ , άρα $x^4+3x^2+3\leq 2f(0)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,0]$ και γνησίως αύξουσα στο $[0,\infty)$ και έχει ελάχιστο το f(0)

.

Η

δεν παίρνει μόνο τιμές μη θετικές γιατί θα ήταν $f(f(x))+f(x)\leq 0 \Rightarrow x^4+3x^2+2\leq 0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα υπάρχει $c\in\mathbb{R}$ με f(c)>0

.

Επίσης δεν είναι f(0)=0

γιατί από την αρχική σχέση θα είχαμε $f(f(0))+f(0)=3\Rightarrow 0=3$ .

Αν f(0)<0

, τότε από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει $\xi$ με $f(\xi)=0$ .

Άρα $f(f(\xi))+f(\xi)=\xi^4+3\xi^2+3 \iff f(0)=\xi^4+3\xi^2+3$ .

Αλλά $f(\xi)\geq f(0)\iff 0\geq \xi^4+3\xi^2+3$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα f(0)>0

και επομένως $f(x)>0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Αν υπάρχει a>0

με

(όμοια αν

) τότε.

$f(a)>f(-a)>0\Rightarrow f(f(a))>f(f(-a))$ (αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ ).

Επομένως $f(f(a))+f(a)>f(f(-a))+f(-a)\Rightarrow a^4+3a^2+3> a^4+3a^2+3$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=f(-x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ (άρτια).

#4

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=60545

Άρτια συνάρτηση

Άρτια συνάρτηση

Re: Άρτια συνάρτηση

Re: Άρτια συνάρτηση

Re: Άρτια συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση