AΣ-Επική εξίσωση!

[chris_gatos]

Καλή άσκηση για τον επερχόμενο διαγωνισμό...
Για ποιές τιμές του μ η εξίσωση έχει μια ρίζα,μικρότερη του -2 και τρείς ρίζες μεγαλύτερες του -1;

[Φωτεινή]

Χρήστο καλημέρα,τι κάνεις;

έχεις απάντηση για την άσκηση;

[chris_gatos]

Φωτεινή καλημέρα!Ναι έχω απάντηση.Αν βρώ χρόνο για πληκτρολόγηση θα τη γράψω.Την είχα ξεχάσει...

[nmavro]

Απορία. Στη διτετράγωνη οι ρίζες δεν είναι ανά δύο αντίθετες;Μπορεί να ισχύει αυτή η συνθήκη της άσκησης;

[chris_gatos]

Καλημέρα!Δεν κατάλαβα που ακριβώς είναι η απορία σου...
Δηλαδή δε θα μπορούσε να είναι : -3,-1/2,1/2,3 οι ρίζες;Αυτές που δίνω δεν ικανοποιούν το ζητούμενο και φυσικά είναι αντίθετες;

[nmavro]

Ναι θα μπορούσε. Βασικά έχω ξεκινήσει με την προϋπόθεση ότι για να έχει 4 ρίζες η διτετράγωνη πρέπει οπωςδήποτε αυτή που προκύπτει αν βάλω χ^2=ω να έχει δύο θετικές ρίζες. Και από κει βγήκε κάτι για το μ. Φαντάζομαι είναι η μία συνθήκη. Και μετά κόλλησα

[rastaffari]

καλημέρα
εστω οι ριζες της εξίσωσης και ριζες τησ εξίσωσης
τοτε θα πρέπει και (1 )
εστω
για να ισχύει η (1) πρέπει
και ακόμα για να βρίσκεται το 0 εξω απο τις ρίζες η να είναι μια απο αυτές
ελπίζω να μην έχει λάθος
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ

[nmavro]

Σε έχασα λίγο.Δεν καταλαβαίνω τις συνθήκες μετά την f(y)

[p_gianno]

Καλησπέρα σε όλους

Μια προσέγγιση χωρίς θεωρία τριωνύμου στην επιλύουσα της διτετράγωνης.
Ένα ενδεικτικό σχήμα για την συνάρτηση φ(χ)=μχ^4-(μ-3)χ^2+3μ θα μπορούσε να είναι το παρακάτω .
Λόγω της συμμετρίας της διτετράγωνης (άρτια γαρ) αρκεί να την μελετήσω στο διάστημα (0 ,+οο). Θέλουμε 0<ρ1<1 και επειδή είναι συνεχής χωρίς διπλή*** ρίζα
αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ρ1 και επομένως
φ(0)φ(1)<0 ή 3μ * 3 * (μ+1)<0 ή -1<μ<0 (1)
Επειδή υπάρχει άλλη μία ρίζα δεξιά του 2 το πρόσημο της φ θα ξαναλλάξει (σε σχέση με το πρόσημο του φ(2).
Το καινούργιο πρόσημο θα είναι αυτό του ορίου της φ στο +οο δηλαδή το πρόσημο του συντελεστή του χ^4 δηλαδή του μ .
Απαιτώ επομένως μ φ(2)<0 ή μ (5μ+4) 3<0 ή -4/5<μ<0 (2)
Από 1 και 2 έπεται -4/5<μ<0 που είναι και ή λύση.
***Αν η άσκηση επιτρέπει την ύπαρξη διπλής ρίζας τότε αυτή θα είναι το 0 και επομένως πρέπει φ(0)=0 ή 3μ=0 ή μ=0 . Για μ =0 η δοθείσα παύει να είναι τετάρτου βαθμού οπότε χάνουμε την συνθήκη για ρίζα μικρότερη του -2. Τελικά δεν υφίσταται περίπτωση διπλής ρίζας.

Διευκρίνιση - Προσθήκη
Η μη ύπαρξη διπλής ρίζας εξασφαλίζει ότι η φ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της κάθε ρίζας αφού η φ είναι πολυωνυμική και στην ανάλυσή της σε γινόμενο παρουσιάζει τον κάθε παράγοντα (χ-ρ) ακριβώς μία φορά.

Καλή επιτυχία σε όλα τα μέλη της παρέας (mathematica) που διαγωνίζονται στον ΑΣΕΠ αύριο

και καλό βράδυ σε όλους