Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Bill Μέγιστος · #1

Είναι μία άσκηση που με παιδεύει τις τελευταίες μέρες. Μόλις ξεκίνησα την επανάληψη για τους μιγαδικούς και δεν ξέρω την λύση αν και φαίνεται σχετικά εύκολη άσκηση αρχικά.
Δίνεται ο μιγαδικός

διάφορος του μηδενός με $\left|z+\frac{1}{z}\right|=1$
Να αποδείξουμε ότι $|z|+\frac{1}{|z|}\leq \sqrt{5}$
Οποιαδήποτε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Υψώνοντας στο τετράγωνο τη δοσμένη σχέση παίρνεις $\displaystyle{{\left| z \right|^2} + \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}} + \frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z} = 1}$ και αν $\displaystyle{w = \frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}}$ , ισχύει, $\displaystyle{w \in \mathbb R}$ και $\displaystyle{ - 2 \leqslant w \leqslant 2}$ (βλέπε άσκηση $\displaystyle{6}$ της $\displaystyle{B}$ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Έτσι $\displaystyle{{\left| z \right|^2} + \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}} = 1 - w \leqslant 3 \Rightarrow {\left| z \right|^2} + \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 \leqslant 5 \Rightarrow {\left( {\left| z \right| + \frac{1}{{\left| z \right|}}} \right)^2} \leqslant 5 \Leftrightarrow \left| z \right| + \frac{1}{{\left| z \right|}} \leqslant \sqrt 5 }$

Και μια συμβουλή
Για να πετύχεις στις εξετάσεις, να κατανοήσεις τον τρόπο λύσεως όλων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου κι έπειτα να ασχολείσαι με άλλα βοηθήματα.
Άντε, καλό διάβασμα.

kostas_zervos · #3

Bill Μέγιστος έγραψε:Είναι μία άσκηση που με παιδεύει τις τελευταίες μέρες. Μόλις ξεκίνησα την επανάληψη για τους μιγαδικούς και δεν ξέρω την λύση αν και φαίνεται σχετικά εύκολη άσκηση αρχικά.
Δίνεται ο μιγαδικός διάφορος του μηδενός με $\left|z+\frac{1}{z}\right|=1$
Να αποδείξουμε ότι $|z|+\frac{1}{|z|}\leq \sqrt{5}$
Οποιαδήποτε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη.

Μια γεωμετρική...

: ask151.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Έστω

η εικόνα του

και

η εικόνα του $-\dfrac{1}{z}$ , τότε $(OM)=|z|\;,\;(ON)=\dfrac{1}{|z|}$ και $(MN)=\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=1$ .

Αν $M\widehat{O}N=\phi\in[0,\pi]$ , τότε από το νόμο συνημιτόνων (που ισχύει και όταν O,N,M

συνευθειακά) έχουμε:

$(OM)^2+(ON)^2-2(OM)(ON)\cos \phi=(MN)^2\iff$

$\iff |z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}-2|z|\dfrac{1}{|z|}\cos\phi=1 \iff$

$\iff |z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}=1+2\cos\phi\iff |z|^2+\dfrac{1}{|z|^2}+2=3+2\cos\phi\iff$

$\iff \left(|z|+\dfrac{1}{|z|}\right)^2=3-2\cos\phi\leq 3+2=5$

(αφού $\cos\phi\geq -1\iff -2\cos\phi\leq 2$ ).

Άρα $\left(|z|+\dfrac{1}{|z|}\right)^2\leq 5\iff |z|+\dfrac{1}{|z|}\leq\sqrt{5}$

Christos.N · #4

Με την χρήση της τριγωνικής ανισότητας.

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left| {|z| - \left| {\frac{1}{z}} \right|} \right| \le |z + \frac{1}{z}| \Rightarrow \left| {|z| - \frac{1}{{|z|}}} \right| \le 1 \Rightarrow \left( {|z| - \frac{1}{{|z|}}} \right)^2 \le 1 \Rightarrow |z|^2 - 2|z|\frac{1}{{|z|}} + \frac{1}{{|z|^2 }} \le 1 \Rightarrow \\ \\ |z|^2 - 2 + \frac{1}{{|z|^2 }} \le 1 \Rightarrow |z|^2 + \frac{1}{{|z|^2 }} \le 3 \Rightarrow |z|^2 + 2|z|\frac{1}{{|z|}} + \frac{1}{{|z|^2 }} \le 3 + 2|z|\frac{1}{{|z|}} \Rightarrow \\ \\ \left( {|z| + \frac{1}{{|z|}}} \right)^2 \le 5 \Rightarrow |z| + \frac{1}{{|z|}} \le \sqrt 5 \\ \end{array} }$

Σχόλια: Η τριγωνική ανισότητα έχει δύο φορές, η μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου έχει πολλές εφαρμογές.

parmenides51 · #5

το είδαμε πάλι εδώ, εδώ κι εδώ

παρόμοιες εδώ κι εδώ

Bill Μέγιστος · #6

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την άμεση βοήθεια σας και Μιχάλη ευχαριστώ για την συμβουλή σου.

Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Re: Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Re: Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Re: Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Re: Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Re: Από ισότητα μέτρων σε ανισότητα μέτρων μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση