ΣΥΣΤΗΜΑ 32

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = \frac{1}{3}\\ 2\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) = \left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)\\ \left( {x,y,z \in \left[ {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.$

Ν.Ζ.

#2

Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε

$\displaystyle{3xyz+3(x+y+z)=1+xy+yz+zx}$ ή $\displaystyle{3xyz=xy+yz+zx.}$

-- Αν $xyz\ne 0$ τότε $\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3.}$

Όμως, $\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=27,}$

οπότε δεν έχουμε λύσεις.

-- Αν xyz=0

τότε, αν πχ z=0

έχουμε $\displaystyle{xy=0}$ οπότε $\displaystyle{x=0, y=\frac{1}{3}}$ ή $\displaystyle{y=0, x=\frac{1}{3}.}$

Έτσι, έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{(x,y,z)=\left(0,0,\frac{1}{3} \right), \ \left(0,\frac{1}{3},0 \right), \ \left(\frac{1}{3},0,0 \right)}$ (αφού επαληθεύουν).

#3

Η δεύτερη συνθήκη, αφού γίνουν οι πράξεις και λόγω της πρώτης συνθήκης, γράφεται

$\displaystyle{xy+yz+zx=3xyz\implies (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz\implies (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0\implies (x+y)(y+z)(z+x)=0.}$

Τότε, φανερά, έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{\Big(\frac{1}{3},0,0\Big),\Big(0,\frac{1}{3},0\Big),\Big(0,0,\frac{1}{3}\Big).}$

ΣΥΣΤΗΜΑ 32

ΣΥΣΤΗΜΑ 32

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 32

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 32

Μέλη σε σύνδεση