Συναρτησιακή με δύο σκέλη

#1

α) Δείξτε ότι αν για μια συνάρτηση $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ ισχύουν:
1) η

είναι γνήσια αύξουσα στο $\Bbb{N}$
2) f(2n)=n+f(n),

για κάθε $n \in \Bbb{N}$
3) υπάρχει $m \in \Bbb{N} \setminus \{0\}$ ώστε f(m)=m

τότε

για κάθε $n \in \Bbb{N}$

β) Προσδιορίστε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ που έχουν τις ιδιότητες 1 και 2 του α) και επιπλέον για κάποιο $k \in \Bbb{N} \setminus \{0\}$ οι αριθμοί f(k^2),f((k+1)^2)

είναι τέλεια τετράγωνα.

γ) Προσδιορίστε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ που έχουν τις ιδιότητες 1 και 2 του α) και επιπλέον για κάποιο $k \in \Bbb{N}$ οι αριθμοί f(k^2),f((k+1)^2)

είναι τέλεια τετράγωνα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Edit: Προσθήκη του (γ).

#2

Επαναφορά!

spiros filippas · #3

socrates έγραψε:α) Δείξτε ότι αν για μια συνάρτηση $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ ισχύουν:
1) η είναι γνήσια αύξουσα στο $\Bbb{N}$
2) για κάθε $n \in \Bbb{N}$
3) υπάρχει $m \in \Bbb{N} \setminus \{0\}$ ώστε
τότε για κάθε $n \in \Bbb{N}$

Έστω $f(1)\neq 1$ τότε λόγω της μονοτονίας $f(2)>f(1)>1\Rightarrow f(2)\geq 3$

και ομοίως f(m)>m

, άτοπο άρα f(1)=1

και εύκολα f(2)=1+1=2

. Έστω

για

Θα δείξουμε ότι f(2k+2)=2k+2

. Η υπόθεσή μας έχει ως συνέπεια ότι f(2n+1)=2n+1 , n=1,2, ...k-1

αφού όταν

και

τότε $2l<f(2l+1)<2l+2\Rightarrow f(2l+1)=2l+1$

Άρα θα πάρουμε f(2k+2)=k+1+f(k+1)=2k+2

και από επαγωγή f(2n)=2n

για κάθε n.

Με το ίδιο επιχείρημα παίρνουμε f(n)=n

για όλα τα n

Συναρτησιακή με δύο σκέλη

Συναρτησιακή με δύο σκέλη

Re: Συναρτησιακή με δύο σκέλη

Re: Συναρτησιακή με δύο σκέλη

Μέλη σε σύνδεση