Απλή συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+2f(y))= 3f(xf(y)), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+2f(y))= 3f(xf(y)), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Αν υπάρχει $x_0\in\Bbb{R}$ ώστε f(x_0)=0

, τότε για y=x_0

έχουμε $f(x+2f(x_0))=3f(xf(x_0)) \iff f(x)=2f(0)$ και αντικαθιστώντας την αρχική έχουμε $2f(0)=6f(0)\iff f(0)=0$ , άρα $f(x)=0\;,\forall x\in\Bbb{R}$ .

Έστω ότι $f(x)\neq 0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Για $x=0\;,\;y\to x$ έχουμε f(2f(x))=3f(0)

και αν $f(0)=c\neq 0$ , τότε f(2f(x))=3c

, επομένως για x=0

έχουμε

και $f(2f(2c))=3c\iff f(6c)=3c$

Για y=0

έχουμε

.

Αν $c\neq 1$ , τότε για $x=\dfrac{2c}{c-1}$ έχουμε

$f\left(\dfrac{2c}{c-1}+2c\right)=3f\left(\dfrac{2c}{c-1}\cdot c\right) \iff$

$\iff f\left(\dfrac{2c^2}{c-1}\right)=3f\left(\dfrac{2c^2}{c-1}\right) \iff f\left(\dfrac{2c^2}{c-1}\right)=0$ ΑΤΟΠΟ.

Αν c=1

, τότε

,

και

.

Για

έχουμε $f(6)=3f(4)\iff 3=3f(4)\iff f(4)=1$ και για x=2

έχουμε $f(4)=3f(2)\iff f(4)=6$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

#3

Οπότε μπορούμε να πούμε:

Η συνάρτηση f(x)=1

για κάθε

δεν είναι λύση, συνεπώς υπάρχει x_0

με $f(x_0)\ne 1.$

Θέτοντας $\displaystyle{x=\frac{2f(x_0)}{f(x_0)-1}, y=x_0}$ έχουμε $\displaystyle{f\left(\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}\right)=0}$ δηλαδή f(d)=0,

για κάποιο

Τέλος, αν θέσουμε y=d

έχουμε

οπότε $f(0)=3f(0)\implies f(0)=0$ και f(x)=0

για κάθε

#4

Παρόμοια:
viewtopic.php?f=111&t=16800

Απλή συναρτησιακή

Απλή συναρτησιακή

Re: Απλή συναρτησιακή

Re: Απλή συναρτησιακή

Re: Απλή συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση