Δύο φορές παραγωγίσιμη

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

i) Ονομάζουμε την δοθείσα σχέση (1)
Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και το $x_{1}$ είναι κρίσιμο σημείο της από Fermat έχουμε ότι $f'(x_{1}) = 0$ (2)
παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της (1) έχουμε $f'(x)=-e^{-x}f'(x)+ e^{-x}f''(x)+1 +e^{x}$ (3)
Για $x = x_{1}$ προκύπτει $e^{- x_{1}}f''(x_{1}) = -(1+e^{x_{1}})\Rightarrow f''(x_{1}) < 0$
από το κριτήριο της 2ης παραγώγου η f παρουσιάζει στο $x_{1}$ τοπικό μέγιστο το $f(x_{1})$ .
ii) Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και στο $x_{0}$ παρουσιάζει καμπή τότε $f''(x_{0}) = 0$ (4)
αντικαθιστώντας στην (3) όπου $x = x_{0}$ προκύπτει
$f'(x_{0})=-e^{-x_{0}}f'(x_{0})+ e^{-x_{0}}f''(x_{0})+1 +e^{x_{0}} \Rightarrow (1+e^{-x_{0}})f'(x_{0})= 1+e^{x_{0}} \Rightarrow f'(x_{0})=e^{x_{0}}>0$
πιστεύω τώρα είναι καλύτερα
Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R έχουμε ότι η f ' είναι συνεχής στο R.
Άρα $f'(x_{o})= \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{o}}f'(x) = e^{x_{o}} > 0$ .
Άρα θα υπάρχει περιοχή του $x_{0}$ στην οποία ισχύει ότι f'(x) > 0

.
Επομένως υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x\in (x_{o}-\delta , x_{0} +\delta)$ ισχύει ότι f'(x) > 0

δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο $(x_{o}-\delta , x_{0} +\delta)$

Χρήστος
ευχαριστώ socrates

michmak · #3

Νομίζω αυτό είναι και γενικότερο συμπέρασμα ότι αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δύο φορές παραγωγίσιμη παρουσιάζει καμπή στο $\displaystyle{x_{0}}$ τότε υπάρχει διάστημα γύρω από αυτό που η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη. Ή κάνω λάθος; Από όσο το σκέφτηκα ισχύει ακόμα και για την περίπτωση που η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται στο $\displaystyle{x_{0}}$ . Αν κάποιος διαφωνεί να εκθέσω τις σκέψεις μου να μου υποδειχθεί το λάθος.

#4

michmak έγραψε:<...> τότε υπάρχει διάστημα γύρω από αυτό που η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη. Ή κάνω λάθος; Από όσο το σκέφτηκα ισχύει ακόμα και για την περίπτωση που η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται στο $\displaystyle{x_{0}}$ . Αν κάποιος διαφωνεί να εκθέσω τις σκέψεις μου να μου υποδειχθεί το λάθος.

Δεν ισχύει. Βλέπε π.χ. τα παραδείγματα στο

viewtopic.php?f=53&t=39445

Δύο φορές παραγωγίσιμη

Δύο φορές παραγωγίσιμη

Re: Δύο φορές παραγωγίσιμη

Re: Δύο φορές παραγωγίσιμη

Re: Δύο φορές παραγωγίσιμη

Μέλη σε σύνδεση