Ύπαρξη... c...

#1

Έστω συνάρτηση $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ ,δυο φορές παραγωγίσιμη.

Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in(a,b)$ υπάρχει $c\in(a,b)$ τέτοιο,ώστε $:\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f''(c)\cdot(x-b)}{2}}$

#2

Φωτεινή κάτι δεν μου έρχεται καλά:
Με $f\left( x\right) =x^{3}$ και a=0

,

η σχέση
$\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}-\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}=\frac{f^{\prime \prime }\left( c\right) \left( x-b\right) }{2}$
γίνεται
$x^{2}-1=\allowbreak 3c\left( x-1\right)$
και επομένως για $x\in \left( 0,1\right)$ πρέπει x+1=3c

. 'Ομως θα πρέπει 0<c<x

και έπομένως $0<\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}<x$ δηλαδή $\frac{1}{2}<x<1$ . Επομένως το

δεν υπάρχει για κάθε $x\in \left( 0,1\right)$
Μαυρογιάννης

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Φωτεινή κάτι δεν μου έρχεται καλά:

τώρα ,να την ξαναδώ στο βιβλίο που την πήρα
---------------
την ξανακοίταξα
δεν έχω αντιγράψει λάθος ,έτσι ακριβώς τη δίνει (άλυτη)

#4

Χωρίς να ισχυρίζομαι ότι η εκφώνηση δεν έχει λάθος, υπάρχει ακριβώς η ίδια στο Νεγρεπόντη τόμος ΙΙα σελ31 ασκ18-75. Η διατύπωσή του είναι αυτή

#5

nsmavrogiannis έγραψε: ..........
'Ομως θα πρέπει ...

Γιατί; Δεν βλέπω αμέσως γιατί πρέπει c<x

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

Ωχ συγχωρέστε με διάβασα λάθος. Αχιλλέα έχεις δίκιο. Η εκφώνηση δεν λέει ότι πρέπει το

να είναι μεταξύ

,

.
Θα το ξαναδώ με άλλη ματιά το θέμα.
Μαυρογιάννης

dement · #7

Καλημερα. Οριζουμε $\displaystyle g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ . Ετσι, απο θεωρημα Taylor (μεσης τιμης στην ουσια), εχουμε $g(x) = g(b) + g^{\prime} (\xi) (x - b)$ για $\xi \in (x, b)$ .

Ισχυει επισης $\displaystyle g^{\prime} (\xi) = \frac{(\xi - a) f^{\prime}(\xi) - f(\xi) + f(a)}{(\xi - a)^2} = \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (c)$ με $c \in (a, \xi)$ , παλι απο το θεωρημα Taylor.

Αντικαθιστωντας στην πρωτη σχεση το $g^{\prime} (\xi)$ εχουμε το ζητουμενο $\displaystyle \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} + \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (c) (x - b)$

Δημητρης Σκουτερης

Ύπαρξη... c...

Ύπαρξη... c...

Re: Ύπαρξη... c...

Re: Ύπαρξη... c...

Re: Ύπαρξη... c...

Re: Ύπαρξη... c...

Re: Ύπαρξη... c...

Re: Ύπαρξη... c...

Μέλη σε σύνδεση