Όριο ακολουθίας

pito · #1

Καλησπέρα

.

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle a_{\nu }=\sqrt[\nu ]{\nu !}$

Zarifis · #2

Χρησιμοποίησε το Stirling κι άμεσα βγαίνει ότι πάει στο άπειρο.
Edit: Καλύτερα με τον τύπο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}}$

pito · #3

Zarifis έγραψε:Χρησιμοποίησε το Stirling κι άμεσα βγαίνει ότι πάει στο άπειρο.
Edit: Καλύτερα με τον τύπο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}}}$

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, αλλά για τον τύπο που λες αυτός δεν εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που όταν το όριο $lim\frac{a_{\nu +1}}{a_{\nu }}=l$ , το

είναι πραγματικός αριθμός ή κάνω λάθος;;;;

#4

pito έγραψε: Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle a_{\nu }=\sqrt[\nu ]{\nu !}$

Ισχύει : $({\nu}!)^2\geq {\nu}^{\nu}\Rightarrow \sqrt[\nu]{\nu!}\geq \sqrt {\nu}$

$\sqrt {\nu}\rightarrow +\infty$ ,άρα $\sqrt[\nu]{\nu!}\rightarrow +\infty$

Zarifis · #5

Ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} \le \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \sqrt[n]{{{a_n}}} \le \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \sqrt[n]{{{a_n}}} \le \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}}$ Το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} =\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \infty }$ οπότε από κριτήριο συγκρίσεις έχουμε το ζητούμενο

pito · #6

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας, όπως και τον kwstas12345 που με π.μ μου υπέδειξε ότι μπορεί να λυθεί και με χρήση της $\displaystyle a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}$

FERMA · #7

HINT για μία ακόμα ωραία λύση:
χρήση ανισότητας Cauchy και θεωρήματος Cesaro.

Προθεσμία μέχρι αύριο το βράδυ.

#8

FERMA έγραψε:HINT για μία ακόμα ωραία λύση:
χρήση ανισότητας Cauchy και θεωρήματος Cesaro.

Προθεσμία μέχρι αύριο το βράδυ.

$\displaystyle{0 \le \sqrt [n] {\frac {1}{n!}} \le \frac { \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n}}{n} }$ και από Cesaro-Stolz είναι

$\displaystyle{ 0 \le \lim_{n\to \infty} \frac { \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n}}{n}= \lim_{n\to \infty}\frac { \left ( \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n+1} \right) - \left( \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n} \right)}{(n+1)-n} = \lim_{n\to \infty}\frac {1}{n+1} = 0}$

Φιλικά,

Μιχάλης

FERMA · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
FERMA έγραψε:HINT για μία ακόμα ωραία λύση:
χρήση ανισότητας Cauchy και θεωρήματος Cesaro.

Προθεσμία μέχρι αύριο το βράδυ.

$\displaystyle{0 \le \sqrt [n] {\frac {1}{n!}} \le \frac { \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n}}{n} }$ και από Cesaro-Stolz είναι

$\displaystyle{ 0 \le \lim_{n\to \infty} \frac { \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n}}{n}= \lim_{n\to \infty}\frac { \left ( \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n+1} \right) - \left( \frac {1}{1}+ \frac {1}{2}+... + \frac {1}{n} \right)}{(n+1)-n} = \lim_{n\to \infty}\frac {1}{n+1} = 0}$

Φιλικά,

Μιχάλης

Αυτή είναι η ιδέα πάνω-κάτω! Απλά εγώ δούλεψα με την $\sqrt [n] {n!}$ . Και με τον δικό σας τρόπο όμως πάλι προκύπτει το ζητούμενο που τελικά είναι $+\infty$

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση