ΣΥΣΤΗΜΑ12

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} = 1\\ \left( {1 - x} \right)\left( {1 + y} \right) = 2\\ \left( {x,y \in \mathbb R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

Θέτουμε $\displaystyle{x=\sin k, y=\sin l, \ k,l\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].}$

Η πρώτη σχέση θα μας δώσει $\displaystyle{k+l=\frac{\pi}{2}}$ οπότε η δεύτερη θα γίνει $\displaystyle{(1-\sin k)(1+\cos k)=2.}$

Θέτουμε $\displaystyle{C=\cos k-\sin k}$ οπότε $\displaystyle{\sin k \cos k=\frac{1-C^2}{2}}$ και από την τελευταία $\displaystyle{C=1}$ ή AB=0.

Τελικά, $\displaystyle{(x,y)=(0,1).}$

Christos.N · #3

Άλγεβρα Β' μεν, αλλά έριξα και ένα βλέφαρο στο "άλλο" βιβλίο.

Έστω τα διανύσματα, $\displaystyle{ \begin{array}{l} \vec a = (x,\sqrt {1 - x^2 } ) \\ \vec b = (\sqrt {1 - y^2 } ,y) \\ \end{array} }$

Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} |\vec a| = 1 \\ |\vec b| = 1 \\ \vec a \cdot \vec b = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \vec a = \vec b \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 }$

τότε έχουμε το σύστημα με τους προφανής περιορισμούς:
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 1 \\ (1 - x)(1 + y) = 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)^2 = 1 \\ y = \frac{{1 + x}}{{1 - x}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow ... \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x = 0 \\ y = \frac{{1 + x}}{{1 - x}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 1 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. }$

Μετά τις απαραίτητες συστάσεις η $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 0 \\ \end{array} \right. }$
απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί την $\displaystyle{ x\sqrt {1 - y^2 } + y\sqrt {1 - x^2 } = 1 }$

Παρόραμα: Υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x = 0

αντί του σωστού x^4 - 2x^3 + x^2 + 4x = 0

. Ευχαριστώ τον Parmenides51για την ενασχόληση του.

parmenides51 · #4

Christos.N έγραψε:Άλγεβρα Β' μεν, αλλά έριξα και ένα βλέφαρο στο "άλλο" βιβλίο.

Έστω τα διανύσματα, $\displaystyle{ \begin{array}{l} \vec a = (x,\sqrt {1 - x^2 } ) \\ \vec b = (\sqrt {1 - y^2 } ,y) \\ \end{array} }$

Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} |\vec a| = 1 \\ |\vec b| = 1 \\ \vec a \cdot \vec b = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \vec a = \vec b \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 }$

...

ωραία παρατήρηση

parmenides51 · #5

αναλυτικά η παραπάνω λύση του socrates

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} = 1\\ \left( {1 - x} \right)\left( {1 + y} \right) = 2\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.$

Θέτω $\displaystyle{x=\eta \mu \omega, y=\eta \mu\phi}$ με $\displaystyle{\omega, \phi \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].}$

Αντικάθιστώντας στην $\displaystyle{x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} = 1}$ έχουμε

$\displaystyle{ \eta \mu \omega\sqrt {1 - \eta \mu^2 \phi}+\eta \mu \phi\sqrt {1 - \eta \mu^2 \omega} = 1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \eta \mu \omega \sigma \upsilon \nu \phi+\eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \omega = 1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \eta \mu ( \omega+ \phi ) = 1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \omega+ \phi =\kappa\pi+\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle{\Rightarrow \omega+ \phi =\frac{\pi}{2}}$ διότι $\displaystyle{\phi \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \phi =\frac{\pi}{2}-\omega}$

οπότε $\displaystyle{\eta \mu\phi =\eta \mu\left(\frac{\pi}{2}-\omega\right)=\sigma \upsilon \nu \omega}$

και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \phi =\sigma \upsilon \nu\left(\frac{\pi}{2}-\omega\right)=\eta \mu\omega}$

Αντικάθιστώντας στην $\displaystyle{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + y} \right) = 2}$ έχουμε

$\displaystyle{(1-\eta \mu\omega)(1+\eta \mu\phi)=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (1-\eta \mu\omega)(1+\sigma \upsilon \nu \omega)=2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega-\eta \mu\omega=1+\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega}$

$\displaystyle{\Rightarrow (\sigma \upsilon \nu \omega-\eta \mu\omega)^2=(1+\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega)^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow (\sigma \upsilon \nu ^2\omega+\eta \mu\omega-2\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega=1+\eta \mu^2\omega\sigma \upsilon \nu ^2\omega+2\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (1-2\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega=1+(\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega)^2+2\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega}$

θέτω $\displaystyle{A=\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega}$ οπότε

$\displaystyle{$ 1-2A=1+A^2-2A\Leftrightarrow A^2=4A\Leftrightarrow A=4}

\displaystyle{A=0}

\displaystyle{\bullet} Για

\displaystyle{A=4} έχουμε

\displaystyle{\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega=4\Leftrightarrow 2 \eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega=8 }

\displaystyle{\Leftrightarrow \eta \mu2\omega=8} αδύνατη διότι

\displaystyle{-1\le \eta \mu2\omega\le 1}

\displaystyle{\bullet} Για

\displaystyle{A=0} έχουμε

\displaystyle{\eta \mu\omega\sigma \upsilon \nu \omega=0\Leftrightarrow \eta \mu\omega=0 }

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega=0}

\displaystyle{\eta \mu\omega=0\Rightarrow \omega=0} οπότε

\displaystyle{(x,y)=(\eta \mu \omega,\eta \mu\phi)=(\eta \mu \omega, \sigma \upsilon \nu \omega )=(\eta \mu 0, \sigma \upsilon \nu 0 )=(0,1)} δεκτή

Αν

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega=0\Rightarrow \omega=\pm\frac{\pi}{2}} οπότε

\displaystyle{(x,y)=(\eta \mu \omega,\eta \mu\phi)=(\eta \mu \omega, \sigma \upsilon \nu \omega )=\left(\eta \mu \frac{\pm\pi}{2}}, \sigma \upsilon \nu \frac{\pm\pi}{2}}\right )=(\pm 1,0)} που απορρίπτονται

τελικά

\displaystyle{(x,y)=(0,1)}$

S.E.Louridas · #6

Επίσης έχουμε:
Κατ' αρχάς θεωρούμε ότι το σύστημα έχει μία τουλάχιαστον λύση. Από την πρώτη από τις εξισώσεις του συστήματος και με εφαρμογή της απλής μορφής B-C-S, $\left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right) \geqslant \left( {ac + bd} \right)^2$ (Αν δεν κάνω λάθος είναι στις επαναληπτικές του βιβλίου της Α' Λυκείου) παίρνουμε άμεσα:
$\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {2 - x^2 - y^2 } \right) \geqslant 1 \Rightarrow 0 \geqslant \left( {x^2 + y^2 - 1} \right)^2 \geqslant 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1\quad \left( * \right).$
Από την δεύτερη από τις εξισώσεις του συστήματος παίρνουμε άμεσα:
$y - x = 1 + xy \Rightarrow xy\left( {xy + 4} \right) = 0 \Rightarrow xy = 0\quad \left( 1 \right)$ ή $xy = - 4\quad \left( 2 \right).$
Από τις σχέσεις (*),(1)

παίρνουμε σαν σύνολο πιθανών λύσεων το σύνολο
$\left\{ {\left( {0,1} \right),\left( {0, - 1} \right),\left( {1,0} \right),\left( { - 1,0} \right)} \right\}.$
Από αυτές με απλές επαληθεύσεις δεχόμαστε την (0,1)

.
Οι σχέσεις (*),(2)

οδηγούν άμεσα σε μη αποδεκτή λύση στο σύνολο R^2

.

ΣΥΣΤΗΜΑ12

ΣΥΣΤΗΜΑ12

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ12

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ12

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ12

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ12

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ12

Μέλη σε σύνδεση