ΖΟΡΙΚΗ

george95 · #1

Έχουμε τους πραγματικούς αριθμούς a_i,b_i

για τους οποίους ισχύει:

1) a_i+b_i=1

για κάθε

2) $na=\sum_{i=1}^{n}{a_i},nb=\sum_{i=1}^{n}{b_i}$

Να δείξετε ότι: $\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}=nab-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2}$

FERMA · #2

Παραθέτω μία λύση αν και νομίζω ότι η άσκηση είναι σε λάθος φάκελο.

Έχουμε
$\sum_{i=1}^{n}{a_i b_i}=\sum_{i=1}^{n}{a_i(1-a_i)}=\sum_{i=1}^{n}{a_i}-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2\ \right\}=na-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}$

Επίσης
$\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}= na -\sum_{i=1}^{n}{(a_i -a+a)^2}= na -\sum_{i=1}^{n}\left[{(a_i -a)^2 +2(a_i-a)a+a^2} \right]= na -\sum_{i=1}^{n}\left[{(a_i -a)^2+2aa_i-a^2}\right]= na -\sum_{i=1}^{n}{(a_i -a)^2}-2a\sum_{i=1}^{n}\left$ a_i \right $+\sum_{i=1}^{n}a^2= na -\sum_{i=1}^{n}{(a_i -a)^2}-2ana+na^2= na -\sum_{i=1}^{n}{(a_i -a)^2}- na^2= na(1-a)-\sum_{i=1}^{n}{(a_i -a)^2}= nab-\sum_{i=1}^{n}{(a_i -a)^2}$

Αφού απο υπόθεση ισχύει $a_i+b_i=1,na=\sum_{i=1}^{n}{a_i},nb=\sum_{i=1}^{n}{b_i} a=b=1$

kostas_zervos · #3

george95 έγραψε:Έχουμε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει:

1) για κάθε

2) $na=\sum_{i=1}^{n}{a_i},nb=\sum_{i=1}^{n}{b_i}$

Να δείξετε ότι: $\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}=nab-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2}$

Από την

, έχουμε

, άρα

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i=\sum_{i=1}^{n}(1-a_i)\iff nb=n-na\;\;(1)$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}=\sum_{i=1}^{n}{a_i(1-a_i)}=\sum_{i=1}^{n}{a_i}-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}=na-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}$

$\displaystyle nab-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2}\overset{(1)}{=}a(n-na)-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}+2\sum_{i=1}^{n}aa_i-\sum_{i=1}^{n}a^2=$

$\displaystyle =na-na^2-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}+2na^2-na^2=na-\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}$ .

Άρα $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}=nab-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2}$ .

Νομίζω ότι είναι πολύ εύκολη για το φάκελο αυτό...

george95 · #4

FERMA έγραψε:Παραθέτω μία λύση αν και νομίζω ότι η άσκηση είναι σε λάθος φάκελο.

kostas_zervos έγραψε:Νομίζω ότι είναι πολύ εύκολη για το φάκελο αυτό...

Νομίζω ότι κάνετε λάθος. Μια χαρά είναι εδώ...

sokratis lyras · #5

Η αλήθεια είναι ότι έχουν υπάρξει και ευκολότερες http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=27436 (δείτε το 1ο πρόβλημα)

#6

Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον Κώστα.

kostas_zervos έγραψε:Νομίζω ότι είναι πολύ εύκολη για το φάκελο αυτό...

Η άσκηση παραείναι εύκολη για διαγωνισμό φοιτητών.

Ας δούμε γιατί.

Θέλουμε να δείξουμε ότι

george95 έγραψε: $\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}=nab-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2}$

όπου από την πρώτη συνθήκη έχουμε για απλό λόγο ότι a+b=1

.

Διώχνοντας τα $b, \, b_i$ , το αριστερό μέλος της αποδεικτέας είναι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{a_i(1-a_i)}}$ και το δεξί $\displaystyle{na(1-a)-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2}}$ .

Ζόρικο, που λέει ο τίτλος; Απολύτως όχι. Είναι τετριμμένο γιατί δεν έχουμε παρά να ανοίξουμε τις παρενθέσεις και τα δούμε σχεδόν αυτόματα, με πράξεις ρουτίνας, την ισότητα των δύο μελών.

Έχω κάνει πολλές φορές στην επιτροπή θεμάτων σε σκληρούς διαγωνισμούς όπως στον Αρχιμήδη, σε Βαλκανιάδες, στον SEEMOUS και αλλού. Δεν θυμάμαι να έχω δει πιο ρουτίνας θέμα σε τέτοιους διαγωνισμούς. Δεν θα γινόταν δεκτή ούτε για το λεγόμενο longlist των διαγωνισμών αυτών.

george95 έγραψε:Νομίζω ότι κάνετε λάθος. Μια χαρά είναι εδώ...

Δεν νομίζω!

george95 · #7

απλά διαφωνούμε

FERMA · #8

Φίλε Γιώργο έχω καταλάβει ότι είσαι φοιτητής. Νομίζω ότι τα άτομα που έγραψαν τα παραπάνω σχόλια (Κος Λάμπρου, Κος Ζερβός) ξέρουν κάτι παραπάνω από εμάς οπότε καλό είναι να δείχνουμε σεβασμό και σε τέτοιες περιπτώσεις να εμπιστευόμαστε την κρίση τους ( το ίδιο ισχύει για πολλά ακόμη μέλη του φόρουμ που ασχολούνται με τα μαθηματικά μια ζωή). Δεν υποτιμάει κανείς την άσκηση σου απλά για αυτό τον φάκελο αυτό είναι αρκετά εύκολη. Θα μπορούσε να μπει στον φάκελο των juniors στις ολυμπιάδες. Για να το καταλάβεις αυτό ρίξε μια ματιά και σε άλλα θέματα του φακέλου ''Διαγωνισμοί για φοιτητές'' για να δεις την διαφορά επιπέδου.

#9

george95 έγραψε:απλά διαφωνούμε

Προφανώς δεν έγινε κατανοητή η λύση απόλυτης ρουτίνας που έγραψα. Κάνω άλλη μία προσπάθεια να την εξηγήσω.

To αριστερό μέλος είναι $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{a_i(1-a_i)} = na - \sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}$ και το δεξί είναι

$\displaystyle{na(1-a)-\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a)^2} =na-na^2 - \sum_{i=1}^{n}{(a_i^2 -2a_1a +a^2)= na-\cancel{ na^2} -\sum_{i=1}^{n}a_i^2 +\cancel{ 2na^2} -\cancel{ na^2} }$ .

Τα δύο μέλη είναι ίσα. Τελειώσαμε.

Πραγματικά δεν βλέπω που είναι ζόρικη η άσκηση. Σε κανένα στάδιο δεν χρειάστηκε ούτε η παραμικρή σκέψη.

FERMA έγραψε:<...> Για να το καταλάβεις αυτό ρίξε μια ματιά και σε άλλα θέματα του φακέλου ''Διαγωνισμοί για φοιτητές'' για να δεις την διαφορά επιπέδου.

Απολύτως.

Nick1990 · #10

Δεν είναι απλά εύκολη, trivial είναι για το επίπεδο αυτό. Αν μιλάμε για διαγωνισμούς, είναι αντικειμενικά θέμα διαγωνισμού μαθητών γυμνασίου, και μάλιστα εύκολο. Αν διδάσκονταν καλύτερα οι συμβολισμοί για τα αθροίσματα σε σχολικό επίπεδο, θα ήταν και μια εύκολη άσκηση Α Λυκείου.

ΖΟΡΙΚΗ

ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Re: ΖΟΡΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση