Μιγαδικοί

konkyr · #1

Καλησπέρα

.

Δίνονται οι μιγαδικοί z=x+yi, w

και

που ικανοποιούν τις σχέσεις :

w=z+x

και

.

ι)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

.

ii)Να δείξετε ότι $1\leq|z-u|\leq5$ .

ιιi)Αν $z_{1}, z_{2}$ δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς

με $|z_{1}+z_{2}|=\sqrt{3}$ να δείξετε ότι $1\leq|z_{1}-z_{2}|\leq\sqrt{13}$ .

iv)Να δείξετε ότι : $|z^{2}+3|=5-|z|^{2}$

v)Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών v για τους οποίους ισχύει : $2v=2z^{2}+3$

(από τη νέα έκδοση του Μπάρλα)

#2

ΚΑΛΩΣ ΤΗΝ

#3

...μιά αντιμετώπιση των τεσσάρων ερωτημάτων...

i) Είναι w=z+x

άρα

και επειδή |w|=2

θα είναι

$|2x+yi|=2\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ που σημαίνει ότι η εικόνα του

είναι σημείο έλλειψης με κορυφές ${A}'(0,\,\,-2),\,\,\,A(0,\,\,2)$ και ${B}'(-1,\,\,0),\,\,\,B(1,\,\,0)$ .

ii) Ισχύ λόγω της τριγωνικής $||z|-|u||\le |z-u|\le |z|+|u|$ και αφού |u|=3

θα ισχύει ότι $||z|-3|\le |z-u|\le |z|+3$ και επειδή

$\max |z|=2$ όταν η εικόνα του

είναι σε μία από τις κορυφές ${A}'(0,\,\,-2),\,\,\,A(0,\,\,2)$ ισχύει ότι $|z-u|\le |z|+3\le 2+3=5$

και ακόμη $|2-3|\le ||z|-3|\Leftrightarrow 1\le ||z|-3|$ και τελικά ισχύει ότι $1\leq|z-u|\leq5$

iii) Από $|z_{1}+z_{2}|=\sqrt{3}$ έχουμε ότι

$|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}{{|}^{2}}=3\Leftrightarrow |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}+2R\,e\,(z)=3\Leftrightarrow 2R\,e\,({{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}})=3-|{{z}_{1}}{{|}^{2}}-|{{z}_{2}}{{|}^{2}}$ (1)

Τώρα από $1\leq|z_{1}-z_{2}|\leq\sqrt{13}$ αρκεί να δείξουμε ότι

$1\le |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-2R\,e\,({{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}})\le 13$ και λόγω (1) αρκεί

$1\le |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-3+|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}\le 13$ ή

$4\le 2|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+2|{{z}_{2}}{{|}^{2}}\le 16\Leftrightarrow 2\le |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}\le 8$

που ισχύει γιατί $1\le |{{z}_{1}}|\le 2,\,\,\,1\le |{{z}_{2}}|\le 2$ επειδή οι εικόνες των μιγαδικών

ανήκουν στην έλλειψη $\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$

iv) Οι εστίες της έλλειψης είναι ${E}'(0,\,\,-\sqrt{3}),\,\,\,E(0,\,\,\sqrt{3})$ αφού

${{\gamma }^{2}}={{\alpha }^{2}}-{{\beta }^{2}}=3\Leftrightarrow \gamma =\sqrt{3}$ και αν M(z)

σημείο της έλειψης σύμφωνα με τον ορισμό της ισχύει ότι

$M{E}'+ME=2\alpha$ ή $|z+i\sqrt{3}|+|z-i\sqrt{3}|=4$ στο τετράγωνο προκύπτει ότι

$|z+i\sqrt{3}{{|}^{2}}+|z-i\sqrt{3}{{|}^{2}}+2|z+i\sqrt{3}||z-i\sqrt{3}|=16\Leftrightarrow 2|z{{|}^{2}}+2\cdot 3+2|{{z}^{2}}+3|=16$

άρα ισχύει $|z^{2}+3|=5-|z|^{2}$

iv)

iv) Είναι $2v=2{{z}^{2}}+3\Leftrightarrow 2v-3=2{{z}^{2}}\Leftrightarrow v-\frac{3}{2}={{z}^{2}}$ άρα και

$|v-\frac{3}{2}|=|z{{|}^{2}}$ και επειδή ισχύει ότι $1\le |z|\le 2\Leftrightarrow 1\le |z{{|}^{2}}\le 4$ θα ισχύει ότι $1\le |v-\frac{3}{2}|\le 4$

που σημαίνει ότι η εικόνα του

ανήκει στον κυκλικό δίσκο που ορίζουν οι κύκλοι κέντρου

$K(\frac{3}{2},\,0)$ και ακτινών ${{r}_{1}}=1,\,\,{{r}_{2}}=4$

: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 8102013.jpg (13.62 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

gian7 · #4

Λύνω το $\displaystyle{iii}$
Είναι γνωστό ότι είναι:
$\displaystyle{|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \Leftrightarrow |z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 - 3}$
H ποσότητα $\displaystyle{2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 - 3}$ γίνεται ελάχιστη όταν τα $\displaystyle{|z_1|}$ και $\displaystyle{|z_2|}$ παίρνουν την ελάχιστη τιμή τους δηλαδή για $\displaystyle{|z_1|=|z_2|=1}$ , οπότε $\displaystyle{|z_1 - z_2|_{min}^{2} = 1 \Rightarrow \boxed{|z_1 - z_2|_{min}=1}}$
Aνάλογα η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται για $\displaystyle{|z_1|=|z_2|=2}$ οπότε $\displaystyle{\boxed{{|z_1-z_2|_{max}=\sqrt{13}}}}$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Καλημέρα σε όλους .
Νομίζω ότι τελικά στο iii) ερώτημα δεν μπορεί να ισχύουν οι ισότητες .
Οι μιγαδικοί που τις πετυχαίνουν έχουν εικόνες τα σημεία A,A'

και

και δεν επαληθεύουν την ισότητα $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$

Μιγαδικοί

Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση