Θεώρημα bolzano...

[tsolis]

1. Έστω μια συεχής συνάρτηση με 0<a<b.Θεωρούμε τους μιγαδικούς όπου x1,x2E[a,b] με χ1<χ2.
Αν ισχύει τότε:
α) να βρεθεί το γινόμενο
β) να δείξετε ότι η f τέμνει τον χ'χ σε ένα τουλάχιστο σημείο.


2. Δίνεται η συνάτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει:
για κάθε χΕR όπου b,c πραγματικοί αριθμοί με .
Να δείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστο ρίζα της εξίσωσης στο ανοιχτό διάστημα (0,1).

[ΘΑΝΑΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ]

Για χ = 0 είναι f( 0 ) ( f( 0)^2 + βf( 0 ) + γ ) = -1. Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική άρα είναι f( 0 ) < 0. Όμοια είναι f( 1 ) > 0, όποτε από θεώρημα Bolzano προκύπτει το ζητούμενο.
Για την πρώτη μετά από πράξεις προκύπτει ότι f(χ1)f(χ2) = -χ1χ2 < 0 κλπ.