Προβληματισμός στον ορισμό της μονοτονίας

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Έχω ένα προβληματισμό τον οποίο θέλω να μοιρασθώ μαζί σας και να ακούσω τις απόψεις σας.

Στο σχολικό βιβλίο στην σελίδα 149 αναφέρονται οι ορισμοί της γνησίως αύξουσας και της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης.

Συγκεκριμένα αναφέρεται ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με ισχύει .

Προφανώς ο δοσμένος ορισμός αναφέρεται σε συνεπαγωγή !!!

Έστω τώρα η άσκηση: Δίνεται η συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λυθεί η ανίσωση: .

Κατά τη γνώμη μου και σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου, η επίλυση της άσκησης αυτής απαιτεί πρώτα την απόδειξη του αντιστρόφου του ορισμού και μετά να λύσουμε την ανίσωση που προκύπτει.

Εσείς τι λέτε;

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Έχω ένα προβληματισμό τον οποίο θέλω να μοιρασθώ μαζί σας και να ακούσω τις απόψεις σας.

Στο σχολικό βιβλίο στην σελίδα 149 αναφέρονται οι ορισμοί της γνησίως αύξουσας και της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης.

Συγκεκριμένα αναφέρεται ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με ισχύει .

Προφανώς ο δοσμένος ορισμός αναφέρεται σε συνεπαγωγή !!!

Έστω τώρα η άσκηση: Δίνεται η συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λυθεί η ανίσωση: .

Κατά τη γνώμη μου και σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου, η επίλυση της άσκησης αυτής απαιτεί πρώτα την απόδειξη του αντιστρόφου του ορισμού και μετά να λύσουμε την ανίσωση που προκύπτει.

Εσείς τι λέτε;

Εγω μια φορά συμφωνώ. Στην λύση της άσκησης είναι προφανώς απαραίτητο και το αντίστροφο, επομένως θα πρέπει να αποδειχθεί

[mathxl]

Λευτέρη, νομίζω ότι για την μαθηματική ορθότητα δεν διαφωνεί κανείς.
Αλλά είναι κάτι το οποίο κάνουμε "γαργάρα". Τέτοιοι δάσκαλοι είμαστε, οπότε δεν νομίζω ότι θα πρεπε να ζητάμε την απόδειξη της πρότασης από τους μαθητές. Δεν λέω πως όλοι οι συνάδελφοι, δεν το διδάσκουν αλλά νομίζω οι περισσότεροι, το πολύ το αναφέρουν, αλλά στις ασκήσεις...γαργάρα...
Αυτό μπορούμε να το δούμε και στα βοηθήματα.

ΥΓ: για να μην παρεγηξηθώ πάλι. Ορισμός = ισοδυναμία. έβαια συμφωνώ ότι ο τρ΄πος με τον οποίο δίνεται φέρνει σε συνεπαγωγή

[Μάκης Χατζόπουλος]

Εγώ λέω ότι πρέπει να κάνουμε μια μικρή νύξη, δηλαδή αν 4-χ >χ τότε επειδή η f είναι γν. αύξουσα έχουμε f(4-x) > f(x) άτοπο, όμοια για 4-χ=χ

Άρα 4-χ < χ....

Φυσικά και συμφωνώ με τον Αναστάση και τον Βασίλη αλλά εμείς πρέπει να είμαστε τυπικοί και ακριβείς, έτσι διδάσκουμε με κάθε τρόπο, σε κάθε σημείο την μονοτονία και δίνεται μάθημα-παράδειγμα στον μαθητή για την ακριβή ερμηνεία του ορισμού {τι ποιο όμορφο στα Μαθηματικά}

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Ίσως δεν έγινα απολύτως σαφής.

Ο προβληματισμός έχει να κάνει με το τι πρέπει να κάνουν οι μαθητές στις εξετάσεις σε τέτοιο θέμα.

Νομίζω ότι όποιος δεν αποδείξει το αντίστροφο (με άτοπο όπως ειπώθηκε) θα έχει βαθμολογικό πρόβλημα!!!

[Μάκης Χατζόπουλος]

Νομίζω ότι δεν θα έχει βαθμολογικό πρόβλημα, αφού και οι σχολικές λύσεις τις λύνουν με αυτό τον τρόπο...
Αν και προτιμότερο θα ήταν να μιλήσουν πρώτα οι βαθμολογητές, τι έκαναν σε ανάλογες περιπτώσεις με τέτοια θέματα.

[nsmavrogiannis]

Ισχύει ο γενικός κανόνας:
Οποιαδήποτε μαθηματική γνώση χρησιμοποιείται και δεν περιλαμβάνεται στα ισχύοντα τώρα επίσημα διδακτικά βιβλία πρέπει προηγουμένως να αποδεικνύεται. Αν χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη τότε αυτό επιφέρει μείωση της βαθμολογίας διότι η απάντηση θεωρείται ελλιπής.
Αυτός είναι ο γενικός κανόνας και η εφαρμογή του μετριάζεται στις περιπτώσεις που εφαρμόζεται κάτι προφανές. Λ.χ παλαιότερα η επιτροπή των εξετάσεων έδωσε οδηγία ότι η συνθήκη
"Ένας μιγαδικός είναι πραγματικός αν και μόνο άν είναι ίσος με τον συζυγή του"
που είναι άσκηση στο σχολικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη.
Επομένως και για τους μαθητές και όσους ασχολούνται με την προετοιμασία τους για εξετάσεις ισχύει, ως συνέπεια, ο επίσης γενικός κανόνας:
Μαθαίνουν και τις αποδείξεις όλων των προτάσεων και λημμάτων που έχουν μάθει να χρησιμοποιούν στις ασκήσεις και οι οποίες δεν περιέχονται στο σχολικό βιβλίο.
Κατά τη γνώμη μου σε αυτή την περίπτωση υπάγεται και το συγκεκριμένο θ'εμα.
Μαυρογιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Συνάδελφοι, ασπάζομαι τους ωραίους προβληματισμούς σας , αλλά απορώ γιατί θέλετε να ακυρώνουμε το ρόλο μας ως δάσκαλοι. Αναφέρομαι κυρίως στους συναδέλφους που διδάσκουν σε σχολεία, διότι έχουν την ευκαιρία να ακούνε και ορισμένα άλλα πράγματα που δυστυχώς δεν φτάνουν σε όλον τον κλάδο :

α) Όταν διδάσκεται η μονοτονία και γράφεται ο ορισμός, δεν ξεκινάμε πρώτα με μια γραφική παράσταση , όπου συγκρίνονται τα με τα , όπου φυσικά είναι ;
Μετά τη διατύπωση των σχετικών ορισμών(με μορφή συνεπαγωγής , όπως στο σχολικό ), δεν τονίζουμε ότι οι μεν γνησίως αύξουσες διατηρούν τη φορά των χ (το λέω χονδρικά για τη μεταξύ μας κουβέντα) ενώ οι φθίνουσες την αλλάζουν ;

β) Στο μάθημα της μονοτονίας, δεν δίνουμε ως πρώτο σχεδόν παράδειγμα μια ανίσωση στη μορφή που μας έδωσε ο Λευτέρης και μάλιστα με γν.φθίνουσα συνάρτηση ; Εκεί δεν λέμε και δεν τονίζουμε έμμεσα ή άμεσα ότι στις γν.αύξουσες συναρτήσεις από άνισα y παίρνουμε ομοίως άνισα χ , ενώ στις γνησίως φθίνουσες , από άνισα y παίρνουμε ''ανομοίως '' άνισα χ ;Εκεί εξηγούμε επίσης την αντίθετη συνεπαγωγή, είτε με άτοπο απαγωγή, είτε με άλλο τρόπο.

γ) Όταν λύνουμε την ανίσωση δεν γράφουμε
; Αν δείτε μάλιστα το βιβλίο της Β΄Λυκείου , στο αντίστοιχο μάθημα, οι ανισώσεις λύνονται με ισοδυναμία και στο πλάϊ γράφεται η αιτιολόγηση (πχ e > 1 κλπ).Επομένως και εδώ, αφού πρόκειται για το ίδιο ακριβώς πράγμα, δεν βλέπω το λόγο να προβούμε σε διαφοροποίηση, μόνο και μόνο επειδή έχουμε f και όχι μια ''αριθμητική'' ανίσωση.


Επομένως στο μυαλό του μαθητή , με όλες αυτές τις παρατηρήσεις του διδάσκοντα αλλά και τις σχετικές ασκήσεις, έχει αποτυπωθεί - και πολύ ορθά μάλιστα - η εξής ισοδυναμία:

'' Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, αν και μόνο αν για κάθε ισχύει ότι :
''

δ) Όταν λύνουμε την εξίσωση και η f είναι
δεν γράφουμε κατευθείαν :
,
αν και το σχολικό βιβλίο έχει μόνο την συνεπαγωγή ; Εκεί δηλαδή τι αλλάζει; Τίποτα! Φυσικά , σωστά βάζουμε ''ισοδυναμία'' , διότι το αντίστροφο είναι προφανές. Αυτό το εξηγούμε όμως εμείς οι δάσκαλοι και για το μαθητή γίνεται νόμος και πρότυπο ! Αν λοιπόν οι ανισώσεις θέλουν αιτιολόγηση - πέραν της απλής αναφοράς ότι '' αφού η f είναι γνησίως ..., η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται '', τότε θέλουν και οι εξισώσεις.

ε) Στο σχολικό βιβλίο που έχουμε και χρησιμοποιούμε τόσα χρόνια , όλοι έχουμε καταλάβει ότι αυτό που μετράει είναι να μπει ο μαθητής στην ουσία, έστω και με διαίσθηση πολλές φορές.Και ποιος απο μας δεν χαίρεται όταν βλέπει τους μαθητές του να πηγαίνουν στο σωστό δρόμο, απλά και μόνο επειδή κατάλαβαν την ουσία του μαθήματος και όχι επειδή τους τονίσαμε με συμβολική γλώσσα όλες τις λεπτομέρειες με μορφή καταλόγου ;

Για να κλείσω αυτό το θέμα, σας λέω απερίφραστα ότι για μένα δεν χρειάζεται καμία απολύτως απόδειξη (με άτοπο κλπ) της αντίστροφης συνεπαγωγής στον ορισμό της μονοτονίας(σε σχετικά θέματα , όπως στη λύση ανισώσεων κλπ), διότι αυτό έχει γίνει έμμεσα και με απόλυτη σαφήνεια και από το διδάσκοντα -κυρίως- αλλά και από τις αντίστοιχες ασκήσεις που λύνονται στη σχολική(αλλά και σε κάθε άλλη) αίθουσα.
Δεν μιλάμε δε για τις εξετάσεις , όπου είναι αδιανόητο να θέσει κάποιος ζήτημα αφαίρεσης μονάδων για το συγκεκριμένο θέμα.Θα τον φάνε οι συνάδελφοι και καλά θα κάνουν ! Οι βαθμολογητές είναι πολύ καλοί συνάδελφοι και έχουν επίγνωση του έργου τους.Ας τους έχουμε εμπιστοσύνη και ας μην αφήνουμε τις αγωνίες ή τις αμφιβολίες μας , να δυσχεραίνουν το ήδη πολύπλοκο και δύσκολο έργο μας.Άλλωστε έχει δοθεί και στις πανελλήνιες ίδιο ακριβώς θέμα και δεν άκουσα να έχει τεθεί τέτοιο ζήτημα για αφαίρεση μονάδων.
Θυμηθείτε ότι δεχτήκαμε με οδηγία της ΚΕΓΕ το κριτήριο πραγματικού - φανταστικού , αν και στο σχολικό βιβλίο αυτό είναι άσκηση.Το ίδιο έχει έμμεσα και σε άλλες περιπτώσεις για προτάσεις που προκύπτουν από την εποπτεία ή τη διδασκαλία(κριτήριο περεμβολής για άπειρο όριο, συνέχεια της αντίστροφης σε διάστημα κλπ).
Για μένα πολύ σωστά δόθηκε αυτή η οδηγία(για το άπειρο όριο) και καλώς δεχόμαστε ως πλήρεις τέτοιες αιτιολογήσεις των μαθητών, μου δημιούργησε όμως απορία η άλλη οδηγία για το κριτήριο του μιγαδικού, διότι αυτό είναι άσκηση !Εκεί σίγουρα η ΚΕΓΕ παρέβη τη σχετική εγκύκλιο για τη χρήση μη διδαγμένων προτάσεων ως θεωρία και έκανε λάθος, αλλά μπορεί να δικαιολογήσει κανείς την αποφαση από το γεγονός ότι στο προηγούμενο βιβλίο ήταν πρόταση και έτσι πολλοί συνάδελφοι την δίδασκαν στην τάξη.
Λοιπον , σχολείο δεν είναι μόνο το σχολικό βιβλίο , αλλά και ο δάσκαλος. Και γω δίνω πολύ μεγάλη σημασία στο σωστό δάσκαλο και στον τρόπο που αυτός θα συλλάβει και υπεύθυνα θα συμπληρώσει κατάλληλα αυτά που αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο ή που απορρέουν από τον τρόπο που το βιβλίο προσεγγίζει το μάθημα, χωρίς - το τονίζω αυτό - να προσθέτει τελείως επιπλέον θεωρήματα, για τα οποία αν χρησιμοποιηθούν δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι πρέπει να αποδειχθούν από το μαθητή στις εξετάσεις.
Το βιβλίο είναι απλά ένας οδηγός και ο δάσκαλος οφείλει και να το ζωντανέψει αλλά και να το ερμηνέψει σωστά, όπου χρειάζεται και όπου οι μαθητές εγείρουν απορία.Η σωστή και πλήρης ανάλυση της θεωρίας θεωρείται πολύ σημαντική και δεν διαφωνώ καθόλου με την ανάπτυξή της από το διδάσκοντα μέχρις εξαντλήσεως, αν χρειαστεί. Αλλά για τις εξετάσεις , για το Θεό ! Τώρα ανακαλύψαμε την Αμερική ;

Αυτό λοιπον που συζητάμε , εντάσσεται ακριβώς σε αυτά που περιέγραψα . Δεν έχω κάποιο λόγο να υπερασπίσω τη μία ή την άλλη άποψη. Ξέρετε άλλωστε ότι μου αρέσουν και τα αυστηρά και τα δύσκολα μαθηματικά. Άπλά επικαλούμαι την κοινή λογική και εκφράζω και γω τους προβληματισμούς μου για το αν αυτή η συζήτηση πρέπει αξίζει να αγγίξει τις εξετάσεις ή να μείνει μόνο στα πλαίσια της καλής και ολοκληρωμένης διδασκαλίας . Αν ωστόσο νομίζει η πλειοψηφία των συναδέλφων ότι πρέπει να γίνουμε πιο σχολαστικοί και τυπικά αυστηροί , να ξανακουβεντάσουμε το θέμα σε ένα συνέδριο και να αποφασίσουμε. Να ξέρετε όμως ότι με αυτό τον τρόπο η δουλειά μας θα γίνει πιο δύσκολη και οι μαθητές μαζί με την κοινωνία θα μας γυρίσουν την πλάτη.

Αυτή είναι η ταπεινή γνώμη μου ,αλλά σέβομαι κάθε αντίθετη άποψη !

Μπάμπης

[Στέλιος Μαρίνης]

Συμφωνώντας με τον Μπάμπη, συμπληρώνω:
1. Καλώς το βιβλίο στον ορισμό δε βάζει ισοδυναμία. Στους ορισμούς δίνουμε τις ελάχιστες απαιτήσεις.
2. Κακώς δεν τονίζει σε σχόλιο στη συνέχεια ότι ισχύει και το αντίστροφο.
3. Ας μην τιμωρήσουμε τους μαθητές για τις παραλείψεις του βιβλίου.
4. Μιας όμως και δεν ξέρουμε με τι κροτήριο θα βαθμολογήσει κάθε συνάδελφος, ας τους πούμε, αν έχουν καιρό να γράψουν και την απόδειξη του αντιστρόφου.

[sorfan]

Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα.
Μελετώντας τους προβληματισμούς που αναπτύχθηκαν για το συγκεκριμένο θέμα και αν κατάλαβα καλά, θα ΄
ήθελα να παρατηρήσω τα εξής:

1. Στο βαθμολογικό κέντρο του κ. Μαυρογιάννη ο μαθητής που δεν θα γράψει την απόδειξη
θα χάσει μόρια, ενώ στο βαθμολογικό κέντρο του Μπάμπη δεν θα χάσει.

2. Αν η επιτροπή εξετάσεων δώσει οδηγία ότι δε χρειάζεται η απόδειξη, τότε όλοι είναι ικανοποιημένοι.
Σε αντίθετη περίπτωση υπάρχει πρόβλημα. Επειδή δε η επιτροπή κάθε χρόνο είναι διαφορετική δεν
γνωρίζουμε τις προθέσεις τις. Δηλαδή η ΚΕΓΕ του 2010 θα έχει την ίδια άποψη για το θέμα των μιγαδικών
που αναφερθηκε;

Το ερώτημα λοιπόν που τίθεται είναι:
Γιατί οι μαθητές θα πρέπει να βιώνουν ένα τέτοιο κλίμα ανασφάλειας για μια εξέταση που καθορίζει το μέλλον τους;
Γιατί οι κανόνες δεν είναι ξεκάθαροι επιτέλους;
Με μια απλή εγκύκλιο το ΠΙ θα μπορούσε να ξεκαθαρίσει το θέμα για όλες αυτές τις βοηθητικές προτάσεις.

Σπύρος Ορφανάκης

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα.
Μελετώντας τους προβληματισμούς που αναπτύχθηκαν για το συγκεκριμένο θέμα και αν κατάλαβα καλά, θα ΄
ήθελα να παρατηρήσω τα εξής:

...........................

Το ερώτημα λοιπόν που τίθεται είναι:
Γιατί οι μαθητές θα πρέπει να βιώνουν ένα τέτοιο κλίμα ανασφάλειας για μια εξέταση που καθορίζει το μέλλον τους;
Γιατί οι κανόνες δεν είναι ξεκάθαροι επιτέλους;
Με μια απλή εγκύκλιο το ΠΙ θα μπορούσε να ξεκαθαρίσει το θέμα για όλες αυτές τις βοηθητικές προτάσεις.

Σπύρος Ορφανάκης

Καλό μήνα σε όλους !!!

Πρέπει να επισημάνουμε τα εξής :

α) Μονάδες δεν κοβουν τα βαθμολογικά κέντρα αλλά οι διορθωτές. Και οι διορθωτές είναι άνθρωποι που διδάσκουν χρόνια, έχουν εμπειρία και ξέρουν πολύ καλά ότι τη μοναδούλα του μαθητή, την τόσο ακριβοπληρωμένη , δεν την κόβουν εύκολα, χωρίς να είναι απόλυτα βέβαιοι ότι αυτό είναι σωστό και δίκαιο.
β) Το ΠΙ και το Υπουργείο δεν έχουν τίποτα να προσθέσουν με οδηγίες για το συγκεκριμένο θέμα , όπως και για τόσα άλλα.Υπάρχουν εκατοντάδες σημεία όπως αυτό που κουβεντιάζουμε και καμία οδηγία δεν μπορεί να τα αποσαφηνίσει.Προσωπικά μια τέτοια ενέργεια τη θεωρή προσβλητική για τον κλάδο. Για τέτοια ζητήματα υπάρχουν οι μαθηματικοί και δόξα τω Θεώ έχουν αρκετή γνώση και σοφία για να αποφασίσουν σωστά στην κάθε περίπτωση , αν χρειαστεί .
γ) Κανένας μαθητής δεν θα βγει χαμένος από τέτοια σημεία ή λεπτομέρειες.Ακόμα και να βρεθεί κάποιος να αφαιρέσει κάτι, αυτό θα είναι μια μονάδα το πολύ και μάλιστα μόνο τότε, όταν δει στα γραπτά αρκετοί που παίρνουν 100 να το αναφέρουν και άλλοι όχι. Διότι σε ένα γραπτό με βαθμολογία 30 - 60 δεν νομίζω ότι μπορεί να υπάρξει λογικός άνθρωπος που να εξαντλήσει την αυστηρότητά και τη μαθηματική του επιστημονικότητα , για να κόψει μονάδα, ακυρώντας τον εαυτό του και τον παιδαγωγικό του ρόλο.

δ) Εξέφρασα σε άλλο μήνυμα την άποψη ότι στο σχολείο, άρα και στις εξετάσεις , αναζητάμε την ουσία και ότι την τυπολατρία ή τη συνταγολογία. Η απλή, κοινή λογική , είναι συχνά ο καλύτερος δάσκαλος. Στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν εκατοντάδες σημεία όπου μπορούμε να θέσουμε ερώτημα του στιλ :'' αν ο μαθητής δεν το γράψει έτσι ή αλλιώς ,ή αν δεν το αναφέρει , θα χάσει μόρια ; ''. Αν λοιπόν εμπλακούμε εμείς σε μια τέτοια ατέρμονη ιστορία και μάλιστα αν την μεταβιβάσουμε στους μαθητές μας με συνεχείς παρεμβάσεις της μορφής '' προσοχή εδώ ,διότι αν το κάνετε αυτό ή αν δεν το γράψετε έτσι θα χάσετε μονάδες , και αν αυτό γίνει σε καμιά πεντακοσαριά ανούσιες περιπτώσεις, τότε να μην αναρωτιόμαστε γιατί οι μαθητές στο 75% γράφουν κάτω από 10.
ε) Όπως τόσα χρόνια όλα κυλάνε καλά, έτσι θα κυλήσουν και φέτος. Ας χαρούμε τη διδασκαλία αυτού του υπέροχου μαθήματος και ας κάνουμε και τους μαθητές μας να αποκομίσουν κάτι. Η αγωνία των εξετάσεων είναι μεγάλη και δεν χρειάζονται παρά τα απαραίτητα μαθηματικά εφόδια και μια δυο απλές συστάσεις για να μην χαθούν τα ελάχιστα έστω μόρια από παραλείψεις.

Στους μαθητές μου λέω πάντα αυτό :
Για να μη χάσετε μόρια από ασκήσεις που θα λύσετε ,
α) Να αναφέρετε - πριν εφαρμόσετε - τις προϋποθέσεις των θεωρημάτων που χρησιμοποιείτε και όταν μπορείτε να τις αιτιολογείτε.
β) Να κάνετε αναφορά σε τυχόν περιορισμούς που δίνει η εκφώνηση τη στιγμή ακριβώς που χρειάζεται (απλοποίησεις, διαιρέσεις κλπ).

Όπως βλέπω και στο ΒΚ, σπάνια χάνει ο μαθητής μονάδα σε λυμένη άσκηση , αν εφαρμόσει την παραπάνω σύσταση .

Όλα αυτά βέβαια ισχύουν για την περίπτωση που είμαστε πολύ κοντά στο σχολικό βιβλίο. Δεν υπάρχει καμιά αντίρρηση ότι :

Άλλες προτάσεις ή θεωρήματα που δεν έχουν αναφερθεί πουθενά στο σχολικό μάθημα και δεν αποτελούν μέρος της σωστής διδασκαλίας , όπως αυτή απορρέει από τις οδηγίες ή τους διδακτικούς στόχους και το πνεύμα του βιβλίου , και θα χρησιμποιηθούν στις εξετάσεις, πρέπει για αυτονόητους λόγους να αποδειχθούν.

Αυτό το θεωρώ απαραίτητο , κυρίως για την προστασία των μαθητών και για να μην γίνει το μάθημα χώρος που ο καθένας θα διδάσκει όσα θεωρήματα γνωρίζει , αλλά και για λόγους ισοδύναμης διόρθωσης των γραπτών ! Νομίζω λοιπόν ότι στην ουσία όλοι λέμε το ίδιο πράγμα και οι μικροδιαφορές δεν αλλάζουν με τίποτα την σύμπνοια των βαθμολογητών σε παρόμοιες περιπτώσεις .
Αυτά και σας καλημερίζω !

[nsmavrogiannis]

Καλή μέρα και καλό μήνα
Επειδή το θέμα είναι σοβαρό και επειδή θέλω να γίνει σαφής η άποψη μου επιτρέψτε μου να είμαι κάπως πιο αναλυτικός, και αναγκαστικά, όχι σύντομος.
Από το 1978 με την αλλαγή νέου συστήματος εξετάσεων ο συγκεντρωτικός χαρακτήρας των εξετάσεων ενισχύθηκε. Ενώ παλαιότερα η ύλη ήταν η διδακτέα του εξαταξίου Γυμνασίου (που δεν ήταν ίδια στα κλασικά και στα πρακτικά σχολεία) μετά η ύλη ορίσθηκε να είναι η διδαχθείσα της τρέχουσας χρονιάς από το συγκεκριμένο βιβλίο. Ενώ παλαιότερα οι εξετάσεις ήσαν πολύ χαλαρά συνδεδεμένες με την διδασκαλία μετά το 78 η σύνδεση έγινε βαθμηδόν πιό ισχυρή. Η χαλαρή σύνδεση των εξετάσεων με το σχολείο είχε και ορισμένες συνέπειες στην προετοιμασία: Επειδή η τυποποίηση ήταν ελαχιστοποιημένη η προσωπική επιλογή και ευθύνη ήσαν μεγιστοποιημένες. Ο μαθητής με δική του ευθύνη επέλεγε τα βιβλία που θα χρησιμοποιήσει, τους ανθρώπους που θα τον προετοιμάσουν και το τι θα διαβάσει. Τα φροντιστήρια, όπου τότε δέσποζαν τα φυσικά πρόσωπα και όχι οι επωνυμίες (η ιδέα να λειτουργεί ένα φροντιστήριο με δικαιόχρηση ήταν αδιανόητη) έκαναν από την αχανή ύλη κάποιες επιλογές. Οι καθηγητές τους έκαναν μία πρόταση πλοήγησης και οι μαθητές ανάλογα με τα κουράγια τους την ακολουθούσαν ή την προσάρμοζαν στις ανάγκες τους.

Εκείνη την εποχή ήταν απολύτως φυσιολογικό η θεωρία από βοηθημα σε βοήθημα (που και εδώ δεσποζαν οι συγγραφείς και όχι οι εκδότες) να είναι διαφορετική. Να κυκλοφορούν για κάθε χρήση θεωρήματα που δεν είχαν καν σχέση με το σχολικό βιβλίο. Πάρτε και συγκρίνετε δύο βοηθήματα Γεωμετρίας εκείνης της περιόδου και θα καταλάβετε τι έννοώ. Οι απαντήσεις που έδινε ο υποψήφιος κρίνονταν και βαθμολογούνταν με βάση την ορθότητα και την πληρότητα και όχι με βάση την ορθότητα σε σχέση με το σχολικό επίσημο βιβλίο.
Οι αλλαγές που ακολούθησαν προσέδεσαν το σύστημα των εξετάσεων σε πλήθος κανονιστικών ρυθμίσεων εγκυκλίων χρονοδιαγραμμάτων και λεπτομερειών ώσπου, πιά, τα περιθώρια εκτός ύλης ελιγμών είναι πολύ λίγα. Τα επιχειρήματα για αυτή την στροφή είναι πολλά (να εξασφαλίζεται η ισότητα των ευκαιριών, να είναι αντικειμενική η βαθμολόγηση, να τονωθεί η διδασκαλία στο σχολείο) και ο αντίλογος σε αυτά πολύ πλούσιος. Αλλά η στροφή είναι δεδομένη είτε μας αρέσει είτε όχι.

Και για την χρήση της θεωρίας ισχύει αυτό που προανέφερα. Χοντρικά: δεν υπάρχει αποδεκτή θεωρία εκτός διδακτικού βιβλίου. Ανεξάρτητα του ποιός καλός καθηγητής δίδαξε το "παραπάνω" και σε ποιό καλό βοήθημα υπάρχει το "παραπάνω" εδώ ισχύει το "δε πα να είσαι η Μάγια Μελάγια" που εισέπραξε η αείμνηστη Παξινού. Λογικό; Και ναι και όχι. Όχι γιατί μένουν απέξω από την αξιολόγηση οι επιπλέον γνώσεις. Ναι γιατί οι παραπάνω γνώσεις δεν προσεφέρθησαν σε όλους αλλά σε κάποιους. 'Οχι γιατί κάποιοι μερακλήδες μαθητές έτρεξαν και αναζήτησαν την παραπάνω γνώση. Ναι γιατί κάποιοι μαθητές δεν είχαν την πολυτέλεια της επαρκούς καθοδήγησης για να τις αναζητήσουν.

Το παρόν εξεταστικό σύστημα θεωρεί ότι οι μαθητές έχουν διδαχθεί ότι προβλέπεται να διδαχθούν και δεν υποθέται ότι διδάχθησαν κάτι παραπάνω. Ούτε, το τονίζω, το αυτονόητο "παραπάνω". Μα μπορεί να πάει κάποιος στις εξετάσεις μόνο με την θεωρία και τις ασκήσεις του σχολικού; 'Οχι. Γιαυτό όσοι θέλουν να βοηθήσουν τους μαθητές ας πουν και κάτι ακόμη αρκεί να τους δείξουν και πως θα το παρουσιάσουν. Αν κάποιος καθηγητής σε σχολείο, φροντιστήριο ή αλλού ή συγγραφέας θέλει να προσφέρει κάποιες παραπάνω θεωρητικές παρατηρήσησεις δεν έχει παρά να το κάνει. Προθέτοντας όμως την επαρκή τους τεκμηρίωση μαζί με την προειδοποίηση ότι ο μαθητής πρέπει να την παραθέσει. Εξ΄άλλου στα περισσότερα "παραπάνω" η τεκμηρίωση είναι μία δύο σειρές. Και εδώ ισχύει αυτό που είπε ο Μπρέχτ στις "Πέντε δυσκολίες για να γράψει κανείς την αλήθεια": Δεν αρκεί να την ξέρεις αλλά, μεταξύ άλλων, χρειάζεται να έχεις την τέχνη να την κάνεις ευκολομεταχείριστη. Είναι αμαρτία να χάσει κάποιος μαθητής μονάδες (και γιαυτό πρέπει να νοιαστούμε εμείς οι μεγάλοι) επειδή πέταξε κάτι που του είπαμε χωρίς τεκμηρίωση.

Πέραν από το τυπικό μέρος υπάρχει και ένα μέρος ουσίας:
Γράφει ένα μαθητής κάτι που ναι μεν δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο αλλά είναι σωστό. Από που και ως που που ξέρει ο βαθμολογητής ότι αυτό που γράφει ο μαθητής το γράφει "μετά γνώσεως". Και ότι δεν υποκύπτει σε κάποιον αυτοματισμό;

Παράδειγμα 1 (Απλό) Το 1987 στην 4η Δέσμη δόθηκε το θέμα:
Έστω η συνάρτηση όπου και και
. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς
I) Πότε η λέγεται γνησίως αύξουσα
II) Πότε η λέγεται γνησίως φθίνουσα
III)Πότε η λέγεται αύξουσα
IV)Πότε η λέγεται φθίνουσα
V) Πότε η f λέγεται « συνάρτηση επί»
Υπήρξαν πολλοί μαθητές που στα στα Ι)-IV) έγραψαν παντού ισοδυναμίες. Που σημαίνει ότι ή δεν είχαν καταλάβει περι τίνος επρόκειτο ή ότι χρησιμοποιούσαν το σύμβολο της ισοδυναμίας καθαρά μηχανικά.

Παράδειγμα 2 (Σύνθετο) Το 1999 δόθηκε στην 1η Δέσμη δόθηκε το εξής θέμα:
Α. Δίνεται η συνάρτηση , .
α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .
β) Έστω η συνάρτηση , .
i) Να αποδείξετε ότι για κάθε και .
ii) Να υπολογίσετε το
Υπήρξαν μαθητές που έδωσαν την απάντηση:

.
Εδώ τι να υποθέσει κανείς; 'Οτι ο μαθητής είχε γνώσεις ή κοίταξε την ευκολία του; Και παίζονται μονάδες και σχολές. Η εισήγηση που είχαμε κάνει τότε στους βαθμολογητές ήταν να βαθμολογούν αυτή τη λύση με 0.

Τελειώνοντας θα ήθελα να σημειώσω τα παρακάτω:
1) Αν σε κάποιο ζήτημα υπάρχει διαθέσιμη "παραπάνω" θεωρία εκτός σχολικού βιβλίου που διευκολύνει τη λύση του τότε θα συναντήσουμε γραπτά μαθητών που:
α) Δεν την γνωρίζουν και προσπαθούν να τα βγάλουν πέρα όπως όπως.
β) Χωρίς να την γνωρίζουν την χρησιμοποιούν μηχανικά ή διαισθητικά.
γ) Την γνωρίζουν την έχουν κατανοήσει την χρησιμοποιούν αλλά δεν είναι σε θέση ή δεν πρόβλεψαν να την τεκμηριώσουν.
δ) Την γνωρίζουν την έχουν κατανοήσει την χρησιμοποιούν και την τεκμηριώνουν.
Κανονικά πρέπει οι μαθητές αυτοί να βαθμολογηθούν διαφορετικά. Για να γίνει αυτό πρέπει να διατυπωθούν κριτήρια με τα οποία τεκμαίρεται σε ποια κατηγορία ανήκει το κάθε γραπτό. Αν αυτό δεν είναι δυνατόν πρέπει να γίνει ομαδοποίηση των κατηγοριών. Η γνώμη μου (και ας το τονίσουμε γνώμες λέμε εδώ δεν λέμε θέσφατα ) αν είναι να έχουμε δύο μόνο κατηγορίες αυτές πρέπει να είναι οι α), β), γ) μαζί και η δ) χωριστά. Προτιμώ, αν δεν γίνεται αλλιώς, οι καλοί να συμπεριληφθούν με τους μέτριους παρά με τους άριστους.
2) Αν πρόκειται να γίνει κάποιο "σκόντο" στην αυστηρότητα αυτό δεν θα το προδιαγράψει ούτε κάποιος στην τάξη του σχολείου του ούτε του φροντιστηρίου του ούτε στα γραπτά του. Ούτε θα καθορισθεί από εμάς στο mathematica που μόνο εκτιμήσεις μπορούμε να κάνουμε που ως προς την ακρίβεια τους θα διαφέρουν βέβαια ανάλογα με την οπτική γωνία που υιοθετούμε αλλά και την γνώση και την πείρα μας. Θα γίνει συντεταγμένα στα βαθμολογικά κέντρα σε επικοινωνία με την επιτροπή των εξετάσεων.
3) Επι του θέματος δεν υπάρχει κανένας απολύτως λόγος για να προκληθεί σύγχιση αν αποφασίσουμε να ακολουθούμε τον κανόνα "το επιπλέον τεκμηριώνεται". Δεν είναι δα και πολλές αυτές οι όλως απαραίτητες προτασούλες που μαθαίνουμε στα παιδιά να τις βάζουν σαν με αυτοκόλλητο στις λύσεις τους.

Μαυρογιάννης

[sorfan]

Αγαπητοί φίλοι

Αναφέρθηκα σε συγκεκριμένα ερωτήματα που απασχολούν μαθητές και καθηγητές. Δεν αμφισβητώ ούτε
την ακεραιότητα, ούτε την καλή πρόθεση των συναδέλφων καθηγητών που διορθώνουν.
Όμως σε κάθε βαθμολογικό κέντρο διαμορφώνεται μία κοινή γραμμή και γι αυτό αναφέρθηκα σε αυτά.
Τα λήμματα που χρησιμοποιούμε εκτός βιβλίου ειναι συγκεκριμένα και αφού οι εξετάσεις καθορίζονται με
τόση λεπτομέρεια δεν θα ήταν τόσο δύσκολο να ενσωματωθούν στο σχολικό βιβλίο. Εξάλλου τέτοιες
μικροπαρεμβάσεις έχουν γίνει στο σχολικό βιβλίο.
Είναι δυνατόν το κριτήριο του μιγαδικού που είναι πραγματικός να είναι ακόμη άσκηση; Είναι λογικό αυτό;
Τέλος, η ανάλυση του θέματος από τον κ. Μαυρογιάννη με καλύπτει πλήρως.

Σπύρος Ορφανάκης

[Μπάμπης Στεργίου]

Αγαπητοί φίλοι

Αναφέρθηκα σε συγκεκριμένα ερωτήματα που απασχολούν μαθητές και καθηγητές. Δεν αμφισβητώ ούτε
την ακεραιότητα, ούτε την καλή πρόθεση των συναδέλφων καθηγητών που διορθώνουν.
Όμως σε κάθε βαθμολογικό κέντρο διαμορφώνεται μία κοινή γραμμή και γι αυτό αναφέρθηκα σε αυτά.
Τα λήμματα που χρησιμοποιούμε εκτός βιβλίου ειναι συγκεκριμένα και αφού οι εξετάσεις καθορίζονται με
τόση λεπτομέρεια δεν θα ήταν τόσο δύσκολο να ενσωματωθούν στο σχολικό βιβλίο. Εξάλλου τέτοιες
μικροπαρεμβάσεις έχουν γίνει στο σχολικό βιβλίο.
Είναι δυνατόν το κριτήριο του μιγαδικού που είναι πραγματικός να είναι ακόμη άσκηση; Είναι λογικό αυτό;
Τέλος, η ανάλυση του θέματος από τον κ. Μαυρογιάννη με καλύπτει πλήρως.

Σπύρος Ορφανάκης

Σπύρο, κατανοώ πλήρως τον προβληματισμό σου και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου. Σίγουρα, μερικά χρήσιμα λήμματα θα έπρεπε σιγά σιγά να ενσωματώνονται στο σχολικό βιβλίο για να αποτελούν απλά και κατανοητά εργαλεία για τη λύση των ασκήσεων. Αυτά δεν είναι περισσότερα από 5 και δε βλέπω το λόγο γιατί να μην γίνεται.Το ίδιο θα μπορούσε κάλλιστα να γίνει και στην περίπτωση μερικών σχολίων ή συμπληρώσεων. Υπάρχει όμως τρομερή γραφειοκρατία, την οποία διασκεδάσαμε και με ανέκδοτα εδώ στο mathematica στο παρελθόν !

Λοιπόν , για να ξεκαθαρίσουμε το τοπίο :
α) Οι βοηθητικές προτάσεις σίγουρα πρέπει να αποδεικνύονται. Και η οδηγία για το κριτήριο πραγματικού - φανταστικού που η ΚΕΓΕ πρότεινε μια χρονιά στις εξετάσεις να βαθμολογηθεί πλήρως, κακώς δόθηκε και το έγραψα και πριν.

β) Μερικές λεπτομέρειες - συμπληρώσεις , όπως αυτή που εύστοχα έβαλε ο Λευτέρης , θα ήταν ευχής έργο να συμπεριληθφούν στο σχολικό βιβλίο.Ωστόσο , υποστηρίζω ότι αυτές οι λεπτομέρειες πηγάζουν από το πνεύμα του βιβλίου και αποτελούν μέρος της διδασκαλίας.Είναι λοιπόν παράλογο να αφαιρέσουμε μονάδες από μαθητή, επειδή δεν ''αποδεικνύει '' αυτό το σημείο. Δεν πρόκειται για πρόταση, αλλά για παρατήρηση και τίποτα παραπάνω.
Το ξέρετε ότι ανήκω στον ομάδα των μετριοπαθών καθηγητών και δεν κόβω μονάδες εύκολα, παρά μόνο στα εμφανή λάθη και στις ουσιώδεις παραλείψεις.Έχω όμως και φίλους συναδέλφους που εκτιμώ και αγαπώ και που είναι της '' σκληρής γραμμής'' . Αυτοί, αν δεν δουν σε γραπτό τη λύση που θέλουν, κόβουν τη μοναδούλα με ευκολία. Δεν προσπαθώ να τους αλλάξω γνώμη, διότι μου αρέσει η ποικιλία και η διαφωνία , μου αρέσει όμως και να συζητώ και να προβληματίζομαι μαζί τους .

Στο πνεύμα αυτή της λογικής είναι και αυτά που σας γράφω παρακάτω.Τα θέτω για να προβληματιστείτε και όχι για να αποδείξω πως έχω δίκαιο, κάτι που δεν το θέλω ούτε το διεκδικώ από κανένα:

α) Σε μια άσκηση που ζητείται να λυθεί η εξίσωση , όπου η f είναι γνησίως μονότονη , ένας μαθητής σας ή ας πούμε το παιδί σας που δίνει εξετάσεις , γράψει :

'' H f είναι 1-1 , ως γνησίως μονότονη , οπότε :

ή '' ,

Θα σας φανεί λογικό, αν εγώ (ή ο φίλος μου Νίκος Μαυρογιάννης) εισηγηθώ στο βαθμολογικό να κοπεί 1 μονάδα, διότι ο μαθητής δεν δικαιολογεί το ισοδύναμο που βάζει , μια και το σχολικό βιβλίο έχει συνεπαγωγή ;Διότι , σύμφωνα με το βιβλίο πρέπει πρώτα να βρεθούν οι τιμές με συνεπαγωγή και μετά να γίνει επαλήθευση.Είναι η ίδια ακριβώς περίπτωση με αυτή της μονοτονίας!

β) Δίνεται στους μαθητές να λυθεί η εξίσωση .Ένας μαθητής γράφει :

'' Θεωρώ τη συνάρτηση . Η είναι γνησίως αύξουσα διότι :

για κάθε

Επομένως η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα.Αφού όμως , το είναι ρίζα της εξίσωσης .

Άρα η είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης . Συνεπώς και η δοσμένη εξίσωση που είναι ισοδύναμη με την ,

έχει μοναδική ρίζα την . ''

Πόσες μονάδες θα κόβατε για αυτή τη λύση, επειδή ο μαθητής χρησιμοποιεί την πρόταση:

'' Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε αυτή έχει τπ πολύ μία ρίζα ''

ή έστω την πρόταση:

'' Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και το είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε αυτή είναι μοναδική '' ,

που όπως καλά ξέρετε δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο ;

Το σχολικό αναφέρει τη σχετική πρόταση για τη μοναδικότητα ρίζας μόνο για τις συναρτήσεις που είναι 1-1. Αλλά από το γνησίως μονότονη μέχρι το 1-1 υπάρχει ένα σοβαρό κενό ! Δεν πρέπει ο μαθητής να χάσει μονάδες αφού χρησιμοποιεί πρόταση εκτός του σχολικού βιβλίου ;
Λοιπόν, καμία μονάδα δεν θα χάσει ο μαθητής , όπως δεν μονάδες δεν κόψαμε και τόσες φορές που το ερώτημα τέθηκε στις εξετάσεις .Όλα αυτά τα σχόλια και οι παρατηρήσεις έχουν αναλυθεί από τον διδάσκοντα στη σχολική τάξη και είναι κοντά στο πνεύμα του σχολικού βιβλίου.Καμία υπέρβαση δεν έχει κάνει ούτε ο μαθητής ούτε ο καθηγητής.

Δεν χρειάζεται επομένως πανικός και σχολαστικότητα που κάνει τα μαθηματικά ανιαρά και τη δουλειά του μαθηματικού μαρτύριο . Ναι στην αυστηρότητα, αλλά εκεί που πράγματι χρειάζεται.
Οι θέσεις μου λοιπόν σε όλη αυτή την αλληλογραφία αναφέρονται μόνο για τέτοιες περιπτώσεις ,που είναι πολύ κοντά στο σχολικό βιβλίο και τη διδασκαλία .Αυτά για να μη δημιουργούνται λαθεμένα συμπεράσματα.Αν λοιπόν είναι να είμαστε αυστηροί και σχολιαστικοί , να είμαστε όλοι και παντού , σε όλα τα σημεία. Όχι όπου νομίζουμε ή όπου μας εξυπηρετεί, είτε πρόκειται για την ΚΕΓΕ , είτε στο μάθημά μας είτε στη διόρθωση των γραπτών.
Να θυμίσω βέβαια και τις δεκάδες ενημερώσεις από το ΠΙ για το ρόλο του βιβλίου στη μεταρύθμιση Αρσένη και το κλίμα μέσα στο οποίο γράφηκαν.Αν το Υπουργείο θελήσει μια αυστηρότατη προσέγγιση όλων των μαθηματικών ζητημάτων στην Γ΄κατεύθυνση, πρέπει να το κάνει επίσημα. Εϊχαμε όμως στο παρελθόν και τα αυστηρότατα βιβλία των Βαρουχάκη κλπ και άλλαξαν , ακριβώς επειδή ήταν πολύ αυστηρά.
Σε μια τέτοια γενική και επίσημη στροφή, θα είμαι και γω εναρμονισμένος(αν και αντίθετος). Για την ώρα όμως ισχύουν αυτά που ξέρουμε και έγραψα παραπάνω.Και είμαι σίγουρος ότι το πνεύμα που επικρατεί αυτή τη στιγμή στα μαθηματικά είναι το σωστό.

Με εκτίμηση σε όλους σας , όποια άποψη και να έχετε - Μπάμπης

[cretanman]

Αν ρίξετε και μια ματιά στο συνημμένο που μας έστειλε ο σχολικός σύμβουλος Ηρακλείου Κρήτης κος Δημήτρης Μπουνάκης εδώ, έχει συμπεριλάβει την παραπάνω (αλλά και αρκετές άλλες) πολύ σωστή παρατήρηση του Λευτέρη στη σελίδα 2 παράγραφος 6.

Αλέξανδρος

[Μάκης Χατζόπουλος]

Αν ρίξετε και μια ματιά στο συνημμένο που μας έστειλε ο σχολικός σύμβουλος Ηρακλείου Κρήτης κος Δημήτρης Μπουνάκης εδώ, έχει συμπεριλάβει την παραπάνω (αλλά και αρκετές άλλες) πολύ σωστή παρατήρηση του Λευτέρη στη σελίδα 2 παράγραφος 6.

Αλέξανδρος

Πολύ όμορφο και διδακτικό αρχείο

[Μπάμπης Στεργίου]

Μια και σήμερα βρήκα σε ηληκτρονική μορφή το νέο βιβλίο της Β΄Λυκείου(Άλγεβρα) , σας παραθέτω και τον τρόπο λύσης ανισώσεων στη σχετική ενότητα, όπου φαίνεται η χρήση της ισοδυναμίας για γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Στο άλλο παράδειγμα γίνεται χρήση της αντίστοιχης ισοδυναμίας για γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.

Θυμίζω ότι η ισοδυναμία αυτή χρειάστηκε και στις φετινές πανελλήνιες εξετάσεις .Το αν η χρήση της , χωρίς απόδειξη, έπρεπε ή όχι να επιφέρει απώλεια μονάδων στους μαθητές , ας το κρίνετε μόνοι σας, μια και έχουν γραφεί διεξοδικά τόσες απόψεις και επιχειρήματα, όλα σεβαστά .

Δεν θέλω να επικαιροποιήσω το θέμα, απλά χρωστούσα από κάποια άλλη σχετική συζήτηση την εικόνα αυτή. Αυτό όμως που αβίαστα προκύπτει ως συμπέρασμα είναι ότι με την τροπή(δυσκολία) που πήραν τα θέματα τα τελευταία χρόνια , είναι τελείως άστοχο να συζητάμε για απώλεια μονάδων για τέτοια ή παρόμοια σημεία , που αποτελούν μέρος της καθημερινής σχολική διδακτικής πράξης .

Για τη χρήση άλλων σημαντικών προτάσεων που δεν συμπεριλαμβάνονται στο σχολικό βιβλίο,ούτε σε άλλο σχολικό βιβλίο μικρότερης τάξης , ως θεώρημα, παρατήρηση,εφαρμογή, σχόλιο ή ιστορική αναφορά ,εντός ή εκτός διδακτέας ή εξεταστέας ύλης, θεωρώ ότι το θέμα έχει εξαντληθεί και συμφωνούμε όλοι ότι κανονικά πρέπει να αποδεικνύονται για λόγους ισότιμης αντιμετώπισης των γραπτών και μόνο .

Μπάμπης

[nikolaos p.]

Συμφωνώντας με τον Μπάμπη, συμπληρώνω:
1. Καλώς το βιβλίο στον ορισμό δε βάζει ισοδυναμία. Στους ορισμούς δίνουμε τις ελάχιστες απαιτήσεις.
2. Κακώς δεν τονίζει σε σχόλιο στη συνέχεια ότι ισχύει και το αντίστροφο.
3. Ας μην τιμωρήσουμε τους μαθητές για τις παραλείψεις του βιβλίου.
4. Μιας όμως και δεν ξέρουμε με τι κροτήριο θα βαθμολογήσει κάθε συνάδελφος, ας τους πούμε, αν έχουν καιρό να γράψουν και την απόδειξη του αντιστρόφου.

Συμφωνώ απόλυτα με την άποψη του Στέλιου.

[apotin]

Επειδή αναφέρθηκε, σ' αυτήν ή στις προηγούμενες συζητήσεις, ότι η χρήση της πρότασης: "μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα"

θέλει απόδειξη, να επισημάνω ότι στο σχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου, στη σελίδα , στη λύση του δεύτερου παραδείγματος αναφέρει κατά λέξη:

"Επειδή επιπλέον η είναι γνησίως αύξουσα στο η είναι μοναδική ρίζα της στο διάστημα αυτό."

Άρα υπάρχει λόγος για μείωση βαθμολογίας; Νομίζω πως όχι.

[Μπάμπης Στεργίου]

Επειδή αναφέρθηκε, σ' αυτήν ή στις προηγούμενες συζητήσεις, ότι η χρήση της πρότασης: "μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα"

........................................

Άρα υπάρχει λόγος για μείωση βαθμολογίας; Νομίζω πως όχι.

Δεν θυμάμαι να αναφέρθηκε κάτι τέτοιο . Σε κάποια φάση όμως έθεσα το ..ρητορικό ερώτημα αν πρέπει κάτι τέτοιο να αποτελέσει αφορμή για ποινή, επειδή δεν αναφέρεται ρητά στη θεωρία και απάντησα ''ΟΧΙ''. Τώρα που επισημαίνεις ότι αυτό χρησιμοποιείται ήδη σε εφαρμογή, έχουμε και πιο ισχυρό τεκμήριο .
Σε ευχαριστώ που το επεσήμανες.

Μπάμπης