Δύσκολη ανισότητα

asxetos · #1

Η παρακάτω ανισότητα είναι αρκετά δύσκολη(νομίζω),ή τουλάχιστον την κατασκεύασα με δύσκολο τρόπο

!

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ a \geq b \geq c \geq d}$ και $\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=2}$ .Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ \sum_{cyc} (a^7+b^7+c^7)^{1/7} \leq \frac{89\sqrt{2}}{25}}$ .

Παρακαλώ προσπαθήστε την!

#2

asxetos έγραψε:Η παρακάτω ανισότητα είναι αρκετά δύσκολη(νομίζω),ή τουλάχιστον την κατασκεύασα με δύσκολο τρόπο !

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ a \geq b \geq c \geq d}$ και $\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=2}$ .Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ \sum_{cyc} (a^7+b^7+c^7)^{1/7} \leq \frac{89\sqrt{2}}{25}}$ .

Παρακαλώ προσπαθήστε την!

Η θετικότητα και η διάταξη είναι περιττά και το φράγμα χαλαρό.

$\displaystyle{0\leq b^2+c^2+d^2=2-a^2\implies a^2\leq 2\implies a\leq \sqrt{2}\implies \boxed{a^7\leq 8\sqrt{2}}}$

Ομοίως και για τα $\displaystyle{b,c,d.}$

Άρα

$\displaystyle{\sqrt[7]{a^7+b^7+c^7}\leq \sqrt[7]{3\cdot 8\sqrt{2}}=\sqrt[7]{24\sqrt{2}}.}$

Άρα

$\displaystyle{\sum_{cyc} (a^7+b^7+c^7)^{1/7} \leq 3\sqrt[7]{24\sqrt{2}}<\frac{89\sqrt{2}}{25}.}$

Η τελευταία είναι απλό θέμα πράξεων.

asxetos · #3

matha έγραψε: Η θετικότητα και η διάταξη είναι περιττά και το φράγμα χαλαρό.

$\displaystyle{0\leq b^2+c^2+d^2=2-a^2\implies a^2\leq 2\implies a\leq \sqrt{2}\implies \boxed{a^7\leq 8\sqrt{2}}}$

Ομοίως και για τα $\displaystyle{b,c,d.}$

Άρα

$\displaystyle{\sqrt[7]{a^7+b^7+c^7}\leq \sqrt[7]{3\cdot 8\sqrt{2}}=\sqrt[7]{24\sqrt{2}}.}$

Άρα

$\displaystyle{\sum_{cyc} (a^7+b^7+c^7)^{1/7} \leq 3\sqrt[7]{24\sqrt{2}}<\frac{89\sqrt{2}}{25}.}$

Η τελευταία είναι απλό θέμα πράξεων.

Ίσως να έπρεπε να το διευκρινίσω αλλά γράφωντας $\displaystyle{\sum_{cyc} (a^7+b^7+c^7)^{1/7}}$ εννοώ το άθροισμα
$\displaystyle{ \sqrt[7]{a^7+b^7+c^7}+\sqrt[7]{a^7+b^7+d^7}+\sqrt[7]{a^7+c^7+d^7}+\sqrt[7]{d^7+b^7+c^7} }$ ,άρα είναι μικρότερο από $\displaystyle{ {\color{red} 4} \sqrt[7]{24\sqrt{2}}}=6.618...$ ενώ $\displaystyle{ \frac{89\sqrt{2}}{25}=5.034...}$ (δεδομένου ότι έχω καταλάβει σωστά τη λύση σας).

Παρόλαυτα η άσκηση νομίζω βελτιώνεται και άλλο και μπορεί να πάρει την παρακάτω μορφή:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ a \geq b \geq c \geq d}$ (η διάταξη όντως είναι περιττή αλλά ας την κρατήσουμε για λόγους απλότητας) και $\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=2}$ .Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ \sum_{cyc} {\sqrt[7]{(a^7+b^7+c^7)}} < \frac{1621\sqrt{2}}{500}=4.584...}$ .

Το φράγμα νομίζω βελτιώνεται κι άλλο λίγο,αλλά ας το δούμε αργότερα.

Ελπίζω να είμαι σωστός!

asxetos · #4

asxetos έγραψε: Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ a \geq b \geq c \geq d}$ (η διάταξη όντως είναι περιττή αλλά ας την κρατήσουμε για λόγους απλότητας) και $\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=2}$ .Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ \sum_{cyc} {\sqrt[7]{(a^7+b^7+c^7)}} < \frac{1621\sqrt{2}}{500}=4.584...}$ .

Το φράγμα νομίζω βελτιώνεται κι άλλο λίγο,αλλά ας το δούμε αργότερα.

Ελπίζω να είμαι σωστός!

Επαναφορά!

Δύσκολη ανισότητα

Δύσκολη ανισότητα

Re: Δύσκολη ανισότητα

Re: Δύσκολη ανισότητα

Re: Δύσκολη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση