Γεωμετρική ερμηνεία

#1

Αν η $\displaystyle{\,\,f\,\,\,}$ είναι παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη στο $\displaystyle{\,{\rm{\Delta }}\,\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,{x_0} \in \,{\rm{\Delta }}\,\,\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,f'({x_0}) \ne 0\,\,\,\,}$ ,
να δώσετε μια γεωμετρική ή και τριγωνομετρική ερμηνεία της σχέσης : $\displaystyle{\,\,\,\,{\left( {\,{f^{ - 1}}} \right)^\prime }(f({x_0})) = \frac{1}{{f'({x_0})}}\,\,\,}$

Tolaso J Kos · #2

Καλησπέρα,
εφόσον η

είναι αντιστρέψιμη στο διάστημα $\Delta$ και συνεχής σε αυτό τότε ισχύει $\displaystyle{f^{-1}\left ( f(x) \right ) =x}$ . Επίσης η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο $\Delta$ Επίσης η

είναι παραγωγίσιμη στο x_0

με $\displaystyle{f'(x_0)\neq 0}$ .

Έστω $\displaystyle{y=f(x), \, \, \, y_0=f(x_0)}$ . Αν $y\neq y_0$ τότε θα προφανώς θα είναι $\displaystyle{f^{-1}(y)\neq f^{-1}(y_0)}$ τότε θα είναι καθώς $\displaystyle{y\rightarrow y_0 \Rightarrow f^{-1}(y)\rightarrow f^{-1}(y_0)}$ άρα και $\displaystyle{x\rightarrow x_0}$ .

Οπότε $\displaystyle{(f^{-1})'\left ( y_0 \right )=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}}$ οπότε παριστάνει το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της $f^{-1}$ στο y_0

όπου

.

Ελπίζω να είμαι σωστός με την αιτιολόγηση
Τόλης

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Ελπίζω να είμαι σωστός με την αιτιολόγηση

Όχι δεν είναι σωστό. Άλλο ζητά η ερώτηση (*).

exdx έγραψε:<...>
να δώσετε μια γεωμετρική ή και τριγωνομετρική ερμηνεία της σχέσης : $\displaystyle{\,\,\,\,{\left( {\,{f^{ - 1}}} \right)^\prime }(f({x_0})) = \frac{1}{{f'({x_0})}}\,\,\,}$

Το γράφημα της αντίστροφης είναι το συμμετρικό του γραφήματος της

ως προς την διχοτόμο y=x

των αξόνων. Αν σχεδιάσει κανείς το σχήμα βλέπει αμέσως ότι η γωνία $\phi$ της εφαπτομένης της αντίστροφης ικανοποιεί $\displaystyle{ \phi = \frac {\pi}{2} - \theta}$ , όπου $\displaystyle{\theta}$ η γωνία της εφαπτομένης της συνάρτησης. Άρα

$\displaystyle{ \left( {\,{f^{ - 1}}} \right)^\prime }(f({x_0})) = \tan \phi = \cot \left ( \frac {\pi}{2} - \phi \right)} = \cot \theta =\frac {1}{\tan \theta} = \frac {1}{ f'(x_0) } }$

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Η απόδειξη που γράφεις υπάρχει σε όλα τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού αλλά δεν είναι το ζητούμενο.

#4

Tolaso J Kos έγραψε:..... Επίσης η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο $\Delta$

Δεν υπάρχει κάπου στο σχολικό και δεν γνωρίζω κάποια γενική απόδειξη με ύλη Λυκείου .

Tolaso J Kos · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Όχι δεν είναι σωστό. Άλλο ζητά η ερώτηση (*).
(*) Η απόδειξη που γράφεις υπάρχει σε όλα τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού αλλά δεν είναι το ζητούμενο.

ΟΚ.. ζητώ συγνώμη, μάλλον πρέπει να κατάλαβα άλλο!

exdx έγραψε: Δεν υπάρχει κάπου στο σχολικό και δεν γνωρίζω κάποια γενική απόδειξη με ύλη Λυκείου .

Όντως δεν υπάρχει. Η απόδειξη στηρίζεται στα έψιλον αν δε κάνω λάθος!

Γενικώς πρέπει να κατάλαβα λάθος το θέμα!

Τόλης

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Μέλη σε σύνδεση