ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

varv19 · #1

Για τους μιγαδικούς $z_{1},z_{2},z_{3}$ ισχύει $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$ και $\left|z_{1} \right|=\left|z_{2} \right|=\left|z_{3} \right|=1$ .

Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό $w\in C$ ισχύει ότι: $\left|w-z_{1} \right|+\left|w-z_{2} \right|+\left|w-z_{3} \right|\geq 3$ .

vanalex · #2

varv19 έγραψε:Για τους μιγαδικούς $z_{1},z_{2},z_{3}$ ισχύει $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$ και $\left|z_{1} \right|=\left|z_{2} \right|=\left|z_{3} \right|=1$ .

Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό $w\in C$ ισχύει ότι: $\left|w-z_{1} \right|+\left|w-z_{2} \right|+\left|w-z_{3} \right|\geq 3$ .

Από τις δοσμένες σχέσεις $\displaystyle{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1\,\,\left( 2 \right)}$ , οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}}$ είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου

εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα r=1

. Οπότε ισχύει: $\displaystyle{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}$ (3). Άρα έχουμε:

$\displaystyle{\left| w-{{z}_{1}} \right|+\left| w-{{z}_{2}} \right|+\left| w-{{z}_{3}} \right|=\left| \bar{w}-\overline{{{z}_{1}}} \right|+\left| \bar{w}-\overline{{{z}_{2}}} \right|+\left| \bar{w}-\overline{{{z}_{3}}} \right|=\left| \bar{w}-\frac{1}{{{z}_{1}}} \right|+\left| \bar{w}-\frac{1}{{{z}_{2}}} \right|+\left| \bar{w}-\frac{1}{{{z}_{3}}} \right|=}$

$\displaystyle{=\frac{\left| \bar{w}{{z}_{1}}-1 \right|}{\left| {{z}_{1}} \right|}+\frac{\left| \bar{w}{{z}_{2}}-1 \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|}+\frac{\left| \bar{w}{{z}_{3}}-1 \right|}{\left| {{z}_{3}} \right|}=\left| \bar{w}{{z}_{1}}-1 \right|+\left| \bar{w}{{z}_{2}}-1 \right|+\left| \bar{w}{{z}_{3}}-1 \right|\ge \left| \bar{w}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)-3 \right|=\left| -3 \right|=3}$

drs75 · #3

Έστω οτι δεν ισχυει το ζητουμενο.Τοτε:
$\begin{flushleft}\left|w-z_1\right|+\left|w-z_2\right|+\left|w-z_3\right|< 3\Leftrightarrow \left|\overline{w}-\overline{z_1}\right|+\left|\overline{w}-\overline{z_2}\right|+\left|\overline{w}-\overline{z_3}\right|< 3\Leftrightarrow \left|\overline{w}-\frac{1}{z_1}\right|+\left|\overline{w}-\frac{1}{z_2}\right|+\left|\overline{w}-\frac{1}{z_3}\right|<3\Leftrightarrow \left|\overline{w}\cdot{z_1}-1\right|+ \left|\overline{w}\cdot{z_2}-1\right|+ \left|\overline{w}\cdot{z_3}-1\right|<3\Leftrightarrow \left|\overline{w}\cdot{z_1}-1+\overline{w}\cdot{z_2}-1+\overline{w}\cdot{z_3}-1\right|<3\Leftrightarrow \left|\overline{w}\cdot(z_1+z_2+z_3)-3\right|<3\Leftrightarrow \left|-3\right|<3 \Leftrightarrow 3<3.\end{flushleft}\\$

varv19 · #4

Ευχαριστώ για τις πολύ ωραίες απαντήσεις.

#5

Ουσιαστικά πρόκειται για ειδική περίπτωση του παρακάτω θεωρήματος

Θεώρημα:

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\rm ABC}$ με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου $\displaystyle{\rm r.}$
Αν $\displaystyle{P}$ είναι σημείο του επιπέδου του τριγώνου, ισχύει

$\displaystyle{\boxed{\rm PA+PB+PC\geq 6r}}$

#6

Ωραία άσκηση !

Την έχουμε ξαναλύσει βέβαια πρόσφατα , σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, και μάλιστα νομίζω ότι ο φίλος μου ο Zorba the freak έκανε και τη γενίκευση .

Την είχα από το καλοκαίρι στο αρχείο από ένα ξενόιγλωσσο, αλλά όχι με ωραία λύση.

Μπ.

parmenides51 · #7

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την έχουμε ξαναλύσει βέβαια πρόσφατα , σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, και μάλιστα νομίζω ότι ο φίλος μου ο Zorba the freak έκανε και τη γενίκευση .

εδώ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση