Εξίσωση!

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\rm 5^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}+7^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}=\sqrt{25^x+49^x}}$

#2

Από την ταυτότητα του Lagrange ισχύει:

$\displaystyle{\rm \left( 5^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}+7^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}\right)^2+\left( 5^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}-7^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}\right)^2=25^x+49^x}$

Η εξίσωση είναι λοιπόν ισοδύναμη με την $\dfrac{5^x}{7^x}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{2}+x}{\dfrac{1}{2}-x}}.$

Για x>0

το πρώτο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας ενώ το δεύτερο ξεπερνά τη μονάδα.

Για x<0

το δεύτερο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας ενώ το πρώτο ξεπερνά τη μονάδα.

Η μόνη λύση είναι το

Μπουμπουλής Κώστας · #3

Και μια λύση που μου ήρθε με ...διανύσματα: Έστω $\vec{a}=\left(5^x,7^x \right) , \vec{b}=\left(\sqrt{\frac{1}{2}+x},\sqrt{\frac{1}{2}-x} \right)$ . Τότε $\right) \left|\vec{a} \right|=\sqrt{25^x+49^x}$ και $\left|\vec{b} \right|=1$ .Η εξίσωση γίνεται $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a} \right|$ $\Leftrightarrow$ $\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|\cdot cos\theta =\left|\vec{a} \right| \Leftrightarrow cos\theta =1$ όπου $\theta$ η γωνία των διανυσμάτων, αφού $\left|\vec{a} \right|\neq 0$ και $\left|\vec{b} \right|=1$ . Αρα $\vec{a}//\vec{b}$ οπότε $det\left(\vec{a},\vec{b} \right)=0$ $\Leftrightarrow \frac{5^x}{7^x}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}+x}{\frac{1}{2}-x}}$ και στη συνέχεια όπως ο ...προ- λελύσας Παύλος Μαραγκουδάκης, βρίσκουμε x=0

.

Εξίσωση!

Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση