Διαγώνισμα Μιγαδικών

[george visvikis]

Καλημέρα σε όλους.
Η τριγωνική ανισότητα δεν δίνει πάντα σωστές ακρότατες τιμές!
Θυμηθείτε το τρίτο θέμα των Πανελληνίων εξετάσεων του . Είχε ζητηθεί να αποδειχθεί ότι:.
Η παράσταση όμως αυτή δεν μπορούσε να πάρει ποτέ την τιμή , επειδή είχε συγκεκριμένη τιμή , που δεν προέκυπτε από ανισοτικές σχέσεις. Επομένως η ακρότατη τιμή είχε προφανώς υπολογισθεί λάθος από την τριγωνική ανισότητα.

[STOPJOHN]

Καλημέρα,
Ας πάρουμε σαν παράδειγμα τους γεωμετρικούς τόπους δυο μιγαδικών που κινούνται σε κύκλους ,ο ένας εξωτερικός του άλλου, και οι μιγαδικοί δεν είναι συσχετιζόμενοι. Ζητάμε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου της διαφοράς τους. Η ασκηση είναι γνωστη και δεν χρειάζεται η τριγωνική ανισότητα,θα πούμε στους μαθητές κοιτάξτε το σχήμα και βρείτε τις θέσεις των ακροτάτων και τις αντίστοιχες τιμές και τέλος.....το οποίο γίνεται εύκολα από όλους....Προφανώς υπάρχει ασκηση στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας οι μαθητές έχουνε διδαχθεί στις προηγούμενες τάξεις. Για τις πανελλήνιες τώρα που είναι το καυτό θέμα σε παρόμοιες περιπτώσεις τι κανουμε ,ως βαθμολογητές ; Η γνώμη μου είναι να μην διυλίζουμε τον κώνωπα....γιατί τα παιδιά δεν μπορούνε να δικαιολογήσουνε ,αλγεβρικά η γεωμετρικά ,ανισοισότητες και να βρούνε τις αντίστοιχες εικόνες τους.....ΕΔΏ ΒΕΒΑΙΑ ΣΕ ΔΕΚΑ ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΥΣ ΑΚΟΥΣΑ ΔΕΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΓΝΩΜΕΣ. Ακόμη πιστεύω ότι μπορούνε να χρησιμοποιούνε τις προτάσεις του σχολικου βιβλίου ,για τη λύση των θεμάτων στις πανελλήνιες εξετάσεις , είτε είναι διδακτέα η εξεταστέα ύλη .....να μην κόβουμε και μονάδες γιατί το θεώρημα δεν είναι στην ορισμένη - εξεταστεα ύλη των πανελλαδικων εξετάσεων.....
Καλή Κυριακή σε όλους
Γιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα Μπάμπη . Κάπως έτσι είμαι αυτό τον καιρό κι εγώ . λίγο πιο γενικά που πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί εδώ
Αυτό το «επιστημονικά τεκμηριωμένο» που κάθε φορά το κολλάνε στο τέλος πως
εκλαμβάνεται;
Αν ένας μαθητής για τη λύση μιας άσκησης επικαλεσθεί πρόταση των εγκεκριμένων
σχολικών βιβλίων οποιασδήποτε τάξης, από την άλγεβρα την τριγωνομετρία ή την
γεωμετρία που είναι στη διδακτέα ή και όχι ύλη , θα είναι νόμιμος ή θα
τον τιμωρήσουμε γιατί ξέρει πολλά ; Αλλιώς ας δώσουν άλλα βιβλία στα παιδιά. που θα έχουν το ,το πολύ, της ύλης που έχουν τώρα.
Θα πει κάποιος ότι δίδονται οδηγίες κάθε χρόνο . Εδώ είναι το οξύμωρο !
Δεν διδάσκονται βασικά πράγματα ( π.χ. στην τριγωνομετρία) και δίδονται οδηγίες
σε δύσκολες έννοιες της ανάλυσης που κανονικά έπρεπε να διδάσκονται μόνο στα
πανεπιστήμια .

Κάθε καλόπιστη ή όχι κριτική είναι αποδεκτή .

Νίκος

Καλημέρα,
Ας πάρουμε σαν παράδειγμα τους γεωμετρικούς τόπους δυο μιγαδικών που κινούνται σε κύκλους ,ο ένας εξωτερικός του άλλου, και οι μιγαδικοί δεν είναι συσχετιζόμενοι. Ζητάμε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου της διαφοράς τους. Η ασκηση είναι γνωστη και δεν χρειάζεται η τριγωνική ανισότητα,θα πούμε στους μαθητές κοιτάξτε το σχήμα και βρείτε τις θέσεις των ακροτάτων και τις αντίστοιχες τιμές και τέλος.....το οποίο γίνεται εύκολα από όλους....Προφανώς υπάρχει ασκηση στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας οι μαθητές έχουνε διδαχθεί στις προηγούμενες τάξεις. Για τις πανελλήνιες τώρα που είναι το καυτό θέμα σε παρόμοιες περιπτώσεις τι κανουμε ,ως βαθμολογητές ; Η γνώμη μου είναι να μην διυλίζουμε τον κώνωπα....γιατί τα παιδιά δεν μπορούνε να δικαιολογήσουνε ,αλγεβρικά η γεωμετρικά ,ανισοισότητες και να βρούνε τις αντίστοιχες εικόνες τους.....ΕΔΏ ΒΕΒΑΙΑ ΣΕ ΔΕΚΑ ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΥΣ ΑΚΟΥΣΑ ΔΕΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΓΝΩΜΕΣ. Ακόμη πιστεύω ότι μπορούνε να χρησιμοποιούνε τις προτάσεις του σχολικου βιβλίου ,για τη λύση των θεμάτων στις πανελλήνιες εξετάσεις , είτε είναι διδακτέα η εξεταστέα ύλη .....να μην κόβουμε και μονάδες γιατί το θεώρημα δεν είναι στην ορισμένη - εξεταστεα ύλη των πανελλαδικων εξετάσεων.....
Καλή Κυριακή σε όλους
Γιάννης

Νίκο και Γιάννη , δεν μπορώ παρά να συμφωνήσω σε όλα , όσα γράφετε !

Τα τελευταία χρόνια έχουμε περιέλθει σε μια κατάσταση φόβου , μήπως ο μαθητής τιμωρηθεί επειδή είναι πιο καλός από όσο πρέπει και γράψει στις εξετάσεις κάτι που ξεφεύγει από τα αυστηρά πλαίσια του σχολικού βιβλίου ή δεν γράψει κάτι που είναι τόσο προφανές που και ο πιο άσχετος μαθητής το ξέρει. Θεωρώ πως φτάσαμε σε πλήρη παρακμή και αντί η μαθηματική κοινότητα να τραβήξει μπροστά με όπλο τον ορθολογισμό και την οικουμενικότητα του μαθήματος,κοιτάζοντας γύρω της που βρίσκεται ο κόσμος και η μαθηματική γνώση , σέρνεται με αντίληψη νομικού χαρακτήρα πίσω από ένα ξεπερασμένο πια σχολικό βιβλίο(ναι ξεπερασμένο, διότι δεν μπορεί να εξασφαλίσει το άριστα στο μαθητή που το χρησιμοποιεί αποκλειστικά) και ψάχνει γράμμα - γράμμα τι πρέπει να λέει ο μαθητής και τι όχι. Λοιπόν, συνοψίζω τη θέση μου για άλλη μια φορά :

- Ό,τι υπάρχει σε σχολικό βιβλίο μαθηματικών ή φυσικών επιστημών, σε οποιαδήποτε τάξη , σε διδακτέα ή μη ύλη , σε εφαρμογή, σε ιστορικό σχόλιο ή απορρέσει άμεσα από αυτά, είναι θεωρία και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη λύση ασκήσεων.

- Όποιαδήποτε άλλη μαθηματική πρόταση που χρησιμοποιεί μαθητής χωρίς να την αποδείξει και δεν περιέχεται με απόδειξη σε σχολικό βιβλίο ,είναι θεωρία, αλλά στερεί από το μαθητή το πολύ το 1/10 των μονάδων του συγκεκριμένου ερωτήματος !

- Για λύση που χρησιμοποιεί άσκηση σχολικού βιβλίου, χωρίς να γραφεί η λύση της, θα αφαιρείται το 1/5 των αντίστοιχων μονάδων !

Θα πρότεινα μάλιστα στη δεύτερη περίπτωση να μην αφαιρείται καμία μονάδα, αλλά θέλω να προστατεύσω το μαθητή από υπερβολική παράθεση παραπάνω προτάσεων, που τελικά δεν τον βοηθάνε, αλλά αντίθετα του προσυξάνουν το άγχρος και την πίεση. Ξέρουμε πολύ καλά την ψυχολογία και τη συμπεριφορά του μαθηματικού : Αρέσκεται να παρουσιάζεται ως Θεός μπροστά στο μαθητή και να του παρουσιάζει νέες λύσεις με βάση το θεώρημα ΧΧΧΧΧ που δεν το έχει πει το φροντιστήριο(για καθηγητές Δημοσίου) ούτε το Σχολείο (για συναδέλφους φροντιστές) ! Είναι για χρόνια μια θλιβερή τακτική και ακόμα δεν έχει εξαλειφθεί, αν και έχει περιορισθεί, κυρίως γιατί βοηθάει το διαδύκτιο και κανένας δε θέλει να δακτυλοδειχθεί .

Από την άλλη μεριά , ο μαθητής γοητεύεται από το μαθηματικό του και με το ίδιο ακριβώς ψυχολογικό επιχείρημα, αντί στις εξετάσεις να γράψει δυο απλά κατανοητά λόγια για τη λύση , ξεφουρνίζει θεωρήματα και προτάσεις , μόνο και μόνο για να εντυπωσιάσει με την επίδειξη γνώσεων , αν και ξέρει ότι αυτά δεν είναι στη βασική σχολική θεωρία ! Οι παραπάνω διαπιστώσεις αποτελούν κατά βάση το πιο ισχυρό επιχείρημα όσων είναι τελείως αντίθετοι στη χρήση μη σχολικής θεωρίας και μέχρι ενός σημείου τους κατανοώ, ίσως και να συντάσσομαι μαζί τους .

Είναι όμως πολύ κοντόφθαλμο και υποτιμά το ρόλο μας ως μαθηματικούς να μείνουμε εκδικητικά προσκολημένοι σε αυτή την πρακτική. Τα μαθηματικά έχουν μια απεραντοσύνη, δείτε πώς στα πανεπιστημικά βιβλία κάθε βιβλίο έχει το δικό του τρόπο θεμελίωσης, όλα όμως υπηρετούν την ίδια επιστήμη. Σε όλον τον πολιστισμένο κόσμο κάθε λύση στο μαθηματικό πρόβλημα είναι δεκτή και η παραπάνω γνώση δεν τιμωρείται !

Τονίζω όμως ότι οι παραπάνω θέσεις πρέπει να αφορούν το μαθηματικό. Ο μαθητής καλό είναι να μένει στο βιβλίο του και να το συμπληρώνει όπου χρειάζεται με ελάχιστες παρατηρήσεις του καθηγητή του. Κανένα θέμα δεν θα του δοθεί που να χρειάζεται θεωρία έξω από το σχολικό του βιβλίο. Για το λόγο αυτό και ο διδάσκων καθηγητής ελάχιστες προτάσεις πρέπει να προσθέτει , επιβάλλεται όμως να επισημαίνει τις συνέπειες όσων αναφέρονται στο βιβλίο, ώστε ο μαθητής να έχει κατάλληλα εργαλεία για τη λύση των ασκήσεων. Μια τέτοια πρόταση είναι πχ το κριτήριο του συζηγούς .

Φρονώ ότι δεν πρέπει να εξαντληθούμε σε μακρισκελείς και επαναλαμβανόμενους διαλόγους. Ο καθένας έχει νου και κρίση και ξέρει να θέτει τα λογικά όρια στη διδασκαλία και κυρίως στην αξιολόγηση των γραπτών, όταν βρίσκεται σε εκείνη τη θέση . Ας χαρούμε τη δουλειά μας, τα μαθηματικά και τους μαθητές μας.Όλα τα άλλα θα είναι θέμα για συζήτηση , όσο υπαρχουν σχολεία, μαθητές , δάσκαλοι και εξετάσεις ! Όλα όμως με μέτρο και υοευθυνότητα .

Μπάμπης

[Κώστας Μαλλιάκας]

Καλησπέρα, το θέμα των μεγίστων και ελαχίστων στους μιγαδικούς μας έχει προβληματίσει πολλές φορές ,ωστόσο θέλω να ρωτήσω μόνο από το σχήμα και χωρίς να αιτιολογηθούν οι ανισοισότητες δεχόμαστε τα ακρότατα; Στο βαθμολογικό κέντρο υπήρξαν έντονες αντιδράσεις και δικαιολογημένα...... Δηλαδή στην Α Λυκείου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λογική του φαίνεται στο σχήμα; καλό βράδυ
Γιάννης

Δεν μπορούμε να παραλληλίζουμε το ¨φαίνεται από το σχήμα" που προφανώς δεν είναι δεκτή απόδειξη στην Γεωμετρία της Α λυκείου και συμφωνώ σε αυτό με το θέμα αυτό των μιγαδικών, όπου ο μαθητής μετά από πολλές σκέψεις και μεταφράσεις δεδομένων και ζητούμενων κατάφερε να ερμηνεύσει το θέμα γεωμετρικά και να δώσει σωστές απαντήσεις. Εγώ δέχομαι και επιβραβεύω (όχι με μόρια!) και ενθαρρύνω τα παιδιά να σκέπτονται γεωμετρικά όπου γίνεται γιατί αυτό μου δείχνει ωριμότητα της σκέψης και ικανότητες-δεξιότητες αναγκαίες σε ένα υποψήφιο. Αν δείτε και στο συννημένο σχήμα επιγραμματικά δείχνω τι ζητώ αλλά και μόνο σχήμα και σωστές απαντήσεις με κάλυπταν στο συγκεκριμένο διαγώνισμα.
Τώρα όσο αφορά την σκέψη του Μπάμπη για θέμα συνεδρίων σας ενημερώνω ότι στο φετινό συνέδριο έχω δύο σχετικές εισηγήσεις μαζί με τον συνάδελφο κ.Σωτηράκη για Γεωμετρία και Πανελλήνιες και σχέση γεωμετρίας με τα μαθηματικά της Γ λυκείου.

[STOPJOHN]

Καλησπέρα, δυο λόγια σύντομα για να κλείσουμε το θέμα..στη λογική μόνο σχήμα και σωστές απαντήσεις .....δεν συμφωνώ χρειάζεται και η αποδειξη γεωμετρική η αλγεβρική ....και θα με ενδιέφεραι να ακούσω τις σκέψεις των μαθητών....πιθανόν και να μην κατάλαβα τη σκέψη του Κώστα . Καλό βράδυ
Γιάννης

[math246]

Το τι είναι επιστημονικά τεκμηριωμένο, δε θα έπρεπε να είναι σχετικό!Σαν σωστό πρέπει να εκλαμβάνεται, ότι προκύπτει από προτάσεις και θεωρήματα που είναι εντός ύλης ή από προτάσεις που προκύπτουν με βάση προτάσεων που είναι εντός ύλης. Στην προκειμένη περίπτωση, από την στιγμή που τα παιδιά διδάσκονται με σαφήνεια την έννοια του ακρότατου, νομίζω ότι είναι ξεκάθαρο για το πως θα έπρεπε να διδαχθεί αυτή η άσκηση!
Μήπως τελικά την δυσκολία δε την έχουν οι μαθητές να καταλάβουν, αλλά εμείς οι καθηγητές να εξηγήσουμε?Μήπως κάθε φορά που εμείς δε μπορούμε να είμαστε ακριβείς, με ένα αυθαίρετο, δεχόμαστε ως σωστή και αυτή την λύση,ουσιαστικά αποφεύγουμε να τοποθετηθούμε?Κάτι τέτοιο εξάλλου δε συνέβη το 2006 στο θέμα των μιγαδικών που τέθηκε στους ομογενείς?
Και επειδή γίνεται αρκετά μεγάλο θέμα, για την βαθμολόγηση, πιστεύω ότι σαν μαθηματικοί θα έπρεπε να έχουμε αρκετά ελεύθερο πνεύμα, ώστε να μη περιοριζόμαστε και να εκτελούμε εντολές από τους εκάστοτε αρμοδίους, για το πως θα βαθμολογήσουμε μια λύση!Πίσω από λάθη παιδιών,πολλές φορές εξάλλου,κρύβονται λάθη καθηγητών!Είναι σωστό να τιμωρήσουμε το παιδί?Το γραπτό πρέπει να το βαθμολογούμε σαν έργο τέχνης!Να μη βαθμολογούμε μόνο το αποτέλεσμα αλλά την φαντασία την προσπάθεια και την διαφορετικότητα.

[STOPJOHN]

Καλημέρα , θα συμφωνήσω με τα γραφόμενα περι λύσεων αλλά στο παράδειγμα που έδωσα με τους δυο κύκλους και την αιτιολόγηση με γεωμετρική σκέψη ,γιατί ειναι άσκηση του σχολικού βιβλίου , οι μαθητές σχεδόν ΟΛΟΙ ακούνε ότι φαίνεται από το σχήμα και να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών που αντιστοιχούν στα ακρότατα ..........ΔΥΣΤΗΧΩΣ η ίδια λογική υπαρχει και στη βαθμολόγηση των γραπτών στις πανελλήνιες εξετάσεις .

καλό απογευμα

Γιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα , θα συμφωνήσω με τα γραφόμενα περι λύσεων αλλά στο παράδειγμα που έδωσα με τους δυο κύκλους και την αιτιολόγηση με γεωμετρική σκέψη ,γιατί ειναι άσκηση του σχολικού βιβλίου , οι μαθητές σχεδόν ΟΛΟΙ ακούνε ότι φαίνεται από το σχήμα και να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών που αντιστοιχούν στα ακρότατα ..........ΔΥΣΤΗΧΩΣ η ίδια λογική υπαρχει και στη βαθμολόγηση των γραπτών στις πανελλήνιες εξετάσεις .

καλό απογευμα

Γιάννης

Γιάννη καλησπέρα !

Εσύ είσαι δάσκαλος με πολυετή πείρα και γνώση και ως εκ τούτου η γνώμη σου έχει ιδιαίτερη βαρύτητα. Συγχώρα με αλλά δεν κατάλαβα καλά το νόημα του τελευταίου μηνύματος. Αν θέλεις μας βοηθάς να καταλάβουμε τη γνώμη σου :

α) Θα ήθελες ο μαθητής που χρησιμοποιεί εποπτεία(σχήμα κλπ) να αποδεικνύει και τη σχετική γεωμετρική πρόταση ;

β) Υπάρχουν γεωμετρικές προτάσεις που θα τις δεχόσουν χωρίς απόδειξη και ποιες είναι αυτές ; Για παράδειγμα τι θα ήθελες στην πρόταση που ανέφερες παραπάνω : να κάνει ο μαθητής και την απόδειξη ;

γ) Θα προτιμούσες να μην τίθενται καν τέτοια ερωτήματα στις εξετάσεις, διότι δεν μπορεί να υπάρξει δίκαιη βαθμολόγηση σε σχέση με τις αλγεβρικές λύσεις ;

Μπάμπης

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί να θέσω και εγώ ένα ερώτημα διδακτικής φύσης:
Έστω ότι έχουμε σαν δεδομένο: και ζητούμε τόσο την μέγιστη όσο και την ελάχιστη τιμή του με βάση όμως τις γνώσεις που έχει στο «τσεπάκι» του από το σχολείο ο Μαθητής στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο εως και τη στιγμή που του τίθεται προς απάντηση το εν λόγω θέμα στη Γ' Λυκείου πλέον.
Πώς θα έπρεπε να επιλυθεί στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα ώστε η απάντηση να θεωρηθεί πλήρης;

[STOPJOHN]

Μπάμπη καλησπέρα ,νομίζω ότι θα πρέπει να δικαιολογούνται με αλγεβρικό τρόπο και να βρίσκουν τις αντίστοιχες εικόνες για τα μέγιστα η τα ελάχιστα . Για την γεωμετρική απόδειξη να γράφουν το γεωμετρικό θεώρημα η πρόταση που χρησιμοποιούν με την ανάλογη σκέψη. Για να γίνω σαφής στην περίπτωση των δυο κύκλων που είναι οι γεωμετρικοί τόποι των δυο μη συσχετιζ
όμενων μιγαδικών από το σχήμα και ΜΟΝΟ βρίσκουνε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της απόστασης των δυο μιγαδικών .Εδώ είναι η διαφωνία μου η ασκηση αυτή είναι στο βιβλίο της Γεωμετρίας της Β Λυκείου και είναι γνωστή η λύση της . Ομως στις πανελλαδικές εξετάσεις η ανισοισότητες ΧΩΡΙΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΗΜΑ λαμβάνεται ως πλήρης λύση......Μπορούν να μην δίνονται αυτά τα θέματα διότι δημιουργούν προβλήματα και στους βαθμολογητές . Δηλαδή συνάδελφος βαθμολογητής εκνευρίστικε όταν άκουσε το ΦΑΙΝΕΤΑΙ από το σχήμα το μέγιστο η το ελάχιστο.....αυτά για τώρα......η οποιαδήποτε γνώμη η κριτική είναι ευπρόσδεκτη......Καλό βράδυ
Γιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Μπάμπη καλησπέρα ,νομίζω ότι θα πρέπει να δικαιολογούνται με αλγεβρικό τρόπο και να βρίσκουν τις αντίστοιχες εικόνες για τα μέγιστα η τα ελάχιστα . Για την γεωμετρική απόδειξη να γράφουν το γεωμετρικό θεώρημα η πρόταση που χρησιμοποιούν με την ανάλογη σκέψη. Για να γίνω σαφής στην περίπτωση των δυο κύκλων που είναι οι γεωμετρικοί τόποι των δυο μη συσχετιζ
όμενων μιγαδικών από το σχήμα και ΜΟΝΟ βρίσκουνε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της απόστασης των δυο μιγαδικών .Εδώ είναι η διαφωνία μου η ασκηση αυτή είναι στο βιβλίο της Γεωμετρίας της Β Λυκείου και είναι γνωστή η λύση της . Ομως στις πανελλαδικές εξετάσεις η ανισοισότητες ΧΩΡΙΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΗΜΑ λαμβάνεται ως πλήρης λύση......Μπορούν να μην δίνονται αυτά τα θέματα διότι δημιουργούν προβλήματα και στους βαθμολογητές . Δηλαδή συνάδελφος βαθμολογητής εκνευρίστικε όταν άκουσε το ΦΑΙΝΕΤΑΙ από το σχήμα το μέγιστο η το ελάχιστο.....αυτά για τώρα......η οποιαδήποτε γνώμη η κριτική είναι ευπρόσδεκτη......Καλό βράδυ
Γιάννης

Γιάννη, στα βαθμολογικά κέντρα τα ίδια πράγματα ακούμε όλοι, όντως .

Είναι όμως γενική παιδαγωγική και διδακτική αρχή το εξής : Όταν βάζουμε κάποιο θέμα, πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τι θέλουμε να αξιολογίσουμε. Αν στη Γ' Λυκείου θέλουμε να εξετάσουμε τις γεωμετρικές γνώσεις του μαθητή, πρέπει ή να τον εξετάσουμε και στο μάθημα της Γεωμετρίας ή να του ζητήσουμε σε ένα υποερώτημα να αποδείξει τη γεωμετρική πρόταση που μπορεί προαιρετικά να χρησιμοποιήσει και ως άλλο ερώτημα την κύρια ερώτηση.

Αν θέλουμε να τον εξετάσουμε μόνο ως προς τη γεωμετρική(ή και τη διανυσματική) φύση των μιγαδικών, τότε δυστυχώς είτε μας αρέσει είτε όχι πρέπει να δεχθούμε αυτό το κάπως ...αντιμαθηματικό : '' από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι ... ''.Διαφορετικά όλες αυτές οι ασκήσεις πρέπει να εξαλειφθούν και από το σχολικό βιβλίο και από παντού.

Αλλά ας έρθουμε και στη Γεωμετρία. Αν δώσουμε σε μια άσκηση τη διάμεσο και τη διχοτόμο ενός τριγώνου από διαφορετική κορυφή, ζητάμε ποτέ από το μαθητή να αποδείξει ότι τέμνονται εντός του τριγώνου ; Προφανώς όχι ! Κι όμως αυτό θέλει απόδειξη ! Επίσης, όταν κάνουμε μια απόδειξη σε μια άσκηση που αναφέρεται σε τυχαίο τρίγωνο , δεν πρέπει να κάνουμε τρία σχήματα, ένα για οξυγώνιο, ένα για ορθογώνιο και ένα για αμβλυγώνιο τρίγωνο(για να μην πω και σε σκαληνό, ισοσκελές και ισόπλευρο!) ; Κι όμως αρκούμαστε σε ένα τυχαίο τρίγωνο , που το κάνουμε οξυγώνιο και σκαληνό, χωρίς όμως αυτό να εξασφαλίζει πλήρη λύση.Πολλές φορές οι λύσεις από τρίγωνο σε τρίγωνο είναι τελείως διαφορετικές ! Αν το μάθημα εξετάζονταν πανελλαδικά, εμείς με την τελειομανία που μας διακατέχει, θα λέγαμε ότι ο μαθητής πρέπει να αποδείξει ότι η διάμεσος και η διχοτόμος τέμνονται εντός του τριγώνου, ότι πρέπει να κάνει τρία σχήματα και τόσα άλλα προφανή, που όμως έχουν απόδειξη , δύσκολη πολλες φορές ! Είμαστε άπαιχτοι !

Όλοι αυτοί οι λόγοι με οδηγούν σε όσα υποστηρίζω, σεβόμενος βέβαια και τον αντίλογο , ότι δηλαδή αυτό το '' παρατηρούμε'' - σε βασικές και γνωστές περιτπώσεις φυσικά- είναι μια πλήρης επιστημονική και μη αμφισβητούμενη λύση , αφού το μόνο που λείπει από τη λύση είναι η αιτιολόγηση μιας γεωμετρικής πρότασης , την οποία ο μαθητής δεν υποχρεούται να κάνει, αν και μπορεί να την κάνει , πρώτον διότι δεν είναι στην ύλη του, δεύτερον δεν του ζητείται , τρίτον διότι παρόμοιες εποπτικές αποδείξεις δίνει το σχολικό του βιβλίο στις εφαρμογές και τέταρτο διότι αυτό είναι το πνεύμα των ερωτημάτων που έχουν τεθεί μέχρι τώρα στις πανελλήνιες.

Ας μείνουμε στην ομορφιά του δάσους και ας μην κοιτάζουμε μόνο ένα μαραμένο κλαδί ! Η αξία και η ομορφιά των μαθηματικών είναι αλλού. Όλοι ξέρουμε πολύ καλά τι είναι απόδειξη και από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε καλά πότε μια απόδειξη μαθητή είναι πλήρης, είτε στο σχολείο είτε αλλού. Μπορεί μια άλλη απόδειξη να είναι καλύτερη, γεωμετρική ή αλγεβρική, αλλά το άριστα το δικαιούται κάθε γραπτό που έχει όλα τα ελάχιστα στοιχεία που υιοθετεί η μαθηματική κοινότητα. Προφανώς, δεν μπορούμε να συμφωνήσουμε όλοι σε όλα , ευτυχώς δηλαδή, αρκεί οι διαφωνίες μας να μην έχουν αντίκτυπο στο μέλλον των μαθητών μας. Ευτυχώς, μέχρι τώρα, πηγαίνουμε πολύ καλά και πάντα γίνεται η σύνθεση ή ο συμβιβασμός με τον βέλτιστο τρόπο.

Καλό βράδυ

Με απεριόριστη εκτίμηση και σεβασμό - Μπάμπης

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί να θέσω και εγώ ένα ερώτημα διδακτικής φύσης:
Έστω ότι έχουμε σαν δεδομένο: και ζητούμε τόσο την μέγιστη όσο και την ελάχιστη τιμή του με βάση όμως τις γνώσεις που έχει στο «τσεπάκι» του από το σχολείο ο Μαθητής στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο εως και τη στιγμή που του τίθεται προς απάντηση το εν λόγω θέμα στη Γ' Λυκείου πλέον.
Πώς θα έπρεπε να επιλυθεί στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα ώστε η απάντηση να θεωρηθεί πλήρης;

Το επαναφέρω για δύο λόγους:
Ο πρώτος είναι για να απαντηθεί το ερώτημα:
Αν έχουμε μία έλλειψη με εξίσωση και πάρουμε σημείο της του πρώτου τεταρτημορίου τότε η ισχύς της ανισότητας είναι γνωστή ή θέλει απόδειξη;

Ο δεύτερος είναι να απαντηθεί το ερώτημα:
Τι θέλουμε να δούμε από ένα εξεταζόμενο σε επίπεδο επίλυσης προβλήματος (ποιος πρέπει να είναι ο ανιχνευτικός στόχος;) και όχι σε επίπεδο θέματος θεωρίας;
Εδώ απλά θα αναφέρω το καθεστώς μέσω του κανονισμού που αφορά στους διαγωνισμούς των Β.Μ.Ο. και Ι.Μ.Ο.: …βαθμολογείται ακόμη και μία ιδέα που οδηγεί σε λύση, δηλαδή αν οι διαπραγματευτές Αρχηγός είτε Υπαρχηγός πείσουν με Μαθηματικά επιχειρήματα ότι η ιδέα που δεν υλοποιήθηκε από τον εξεταζόμενο οδηγεί σε λύση, τότε Ναι βαθμολογείται.
Προσωπικά είμαι υπέρ της άποψης της βαθμολογικής πριμοδότησης του έξυπνου λύτη που του μυαλό του «στροφάρει» έστω και αν έχει κάνει κάποιες υπερβάσεις χωρίς αλλοίωση της Μαθηματικής συμπεριφοράς των εννοιών.
Σε διάφορα σημεία του περιοδικού ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ όπου υπάρχουν για κάποιο προταθέν πρόβλημα πάνω από δύο λύσεις μπορεί να δει κανείς άρτιες λύσεις τακτοποιημένες χωρίς ψεγάδι αλλά χωρίς εντυπωσιακή κίνηση και ταυτόχρονα για την ίδια άσκηση πανέξυπνο τέχνασμα που είναι να το χαίρεται κανείς αφού δείχνει Μαθηματική έμπνευση που πιθανόν να πηγάζει από Μαθηματικό ταλέντο και χωρίς εδώ να έχουμε εμμονή στην απόλυτη ταχτοποίηση.
Το ερώτημα εδώ είναι, τι κάνουμε σε μία τέτοια περίπτωση;
Σημασία τελικά πρέπει να έχει και η Προσωπικότητα του Εξεταστή την οποία θα πρέπει να ενισχύουμε, ώστε αυτός να διορθώνει με υπευθυνότηα και χωρίς τον οποιονδήποτε φόβο.

[STOPJOHN]

Mπάμπη, καλημέρα ..............νομίζω ότι συμφωνώ επί της ουσίας του κειμένου σου .....περισσότερα στην Καρδίτσα ....θα μείνω στο Μουζάκι σε σπίτι φίλου που είναι τώρα στην Αθήνα ......Νάσαι καλά και αισιόδοξος ,μαχητικός και όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι..........
Γιάννης

[STOPJOHN]

Κ.Λουρίδα καλημέρα τώρα μόλις μελέτησα το παραπάνω κείμενο με την έλλειψη . Πίστευω ότι ο μαθητής δεν πρέπει να αποδείξη στην έλλειψη τις δυο ανισότητες που έμαθε στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Β Λυκείου ,νομίζω ότι είναι λεπτομέρειες ,και τα Μαθηματικά θα χάσουνε την ομορφιά τους.....ωστόσο στο παράδειγμα που ανέφερα χρειάζονται γεωμετρικοί συλλογισμοί εφόσον χρησιμοποιηούμε άσκηση Γεωμετρίας του σχολικού βιβλίου. Μπορούμε να πούμε πολλά τέτοια παραδείγματα που μας προβλημάτισαν σαν βαθμολογητές.....που κυρίαρχο ρόλο έχει ΜΟΝΟ το εποπτικό μέρος....ας είναι ευχαριστώ για το χρόνο που αφιερώσατε και πάντοτε παρακολουθώ με προσοχή τους προβληματισμούς σας........να είστε καλά.
Καλημέρα
Γιάννης

[S.E.Louridas]

Καλημέρα.
Είναι καθαρό ότι οι τέτοιου τύπου διάλογοι έχουν να κάνουν και μόνο με την διαμόρφωση περιβάλλοντος βοήθειας προς τους διδάσκοντες και τους Μαθητές οι οποίοι τώρα ξεκινούν την πορεία γνώσης επί των Μαθηματικών και προφανώς δεν έχουν να κάνουν με προσωπικές αντεγκλήσεις και ειδικά όταν στους διαλόγους αυτούς μετέχουν καταξιωμένοι διδάσκοντες όπως ο Μπάμπης Στεργίου και ο Γιάννης Σταματογιάννης.
Ένας βασικός παράγοντας απελευθέρωσης της διαδρομής της Μαθηματικής γνώσης είναι να μην φρενάρεται από τις βασικές παραλήψεις των προγραμμάτων και των συγγραφών αλλά που τελικά να την πληρώνουν οι Μαθητές και έτσι να απογοητεύονται.
Έχω ακούσει από συναδέλφους διορθωτές που για το συγκεκριμένο παράδειγμα της έλλειψης που σας ανέφερα να λένε κάθετα: Για να πιαστεί πλήρως σωστό θα πρέπει να αποδειχτεί αυτή η ανισότητα , που η οπτική αντίληψη της ισχύος της είναι άμεση και που ταυτόχρονα θεωρώ ότι δεν είναι και το ποιο εύκολο για τον Μαθητή να την αποδείξει εκείνη την ώρα των εξετάσεων. Κατ’ αρχήν θεωρώ ότι θέματα που φέρνουν διχογνωμία στις ομάδες των διορθωτών θα πρέπει οι θεματοδότες να τα αποφεύγουν, αν βέβαια έχουν την δυνατότητα αυτή. Τώρα αν υποθέσουμε ότι τέτοια θέματα «μπαίνουν» τότε είμαι υπέρ της άποψης που επικρατεί στον κανονισμό των διαγωνισμών των Β.Μ.Ο. ή Ι.Μ.Ο. τον οποίο και σας εξέθεσα. Από την άλλη μεριά σαφώς και θα πρέπει οι Μαθηματικοί συλλογισμοί σε Μαθηματικά θέματα να είναι που καθορίζουν είτε χαρακτηρίζονται σαν Αλγεβρικοί είτε Γεωμετρικοί κ.τ.λ., αν και προσωπικά πιστεύω στο ενιαίο της Μαθηματικής σκέψης σε όποιο αντικείμενο των Μαθηματικών και αν αυτή χρησιμοποιείται.

[Μπάμπης Στεργίου]

Ας μου επιτραπεί να θέσω και εγώ ένα ερώτημα διδακτικής φύσης:
Έστω ότι έχουμε σαν δεδομένο: και ζητούμε τόσο την μέγιστη όσο και την ελάχιστη τιμή του με βάση όμως τις γνώσεις που έχει στο «τσεπάκι» του από το σχολείο ο Μαθητής στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο εως και τη στιγμή που του τίθεται προς απάντηση το εν λόγω θέμα στη Γ' Λυκείου πλέον.
Πώς θα έπρεπε να επιλυθεί στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα ώστε η απάντηση να θεωρηθεί πλήρης;

Σωτήρη, για το συγκεκριμένο ερώτημα το σχολικό βιβλίο της Β΄κετεύθυνσης αναφέρει στο μάθημα της έλλειψης ότι



όπου είναι τυχαία διάμετρος . Η πρόταση αυτή που απλά αναφέρεται και δεν αποδεικνύεται, δίνει και την απάντηση στο ερώτημα που βάζεις. Το θέμα όμως είναι γενικότερο και αφορά ένα σωρό άλλα ερωτήματα με παραβολές, ευθείες, υπερβολές, δύο γραμμές κλπ, όπου η εποπτεία βοηθάει και ενδεχομένως η άλγεβρα μακρυγορεί.

Για παράδειγμα , στο Θέμα των Πανελληνίων το Μάιο του το σχετικό ερώτημα μπορούσε να απαντηθεί μόνο με το : '' Από το σχήμα βλέπουμε ότι ....''.Πρόκειται για το ερώτημα με ελάχιστη τιμή του όπου ο ένας μιγαδικός κινείται σε κύκλο και ο άλλος σε ευθεία. Το ερώτημα αυτό αποδεικνύει ότι με τη σχετική συζήτηση μάλλον χάνουμε το χρόνο μας, αφού τελικά το '' από το σχήμα βλέπουμε ότι '' είναι μια πλήρης αιτιολόγηση, που μπορεί να μην αρέσει σε μένα και δυο τρεις ακόμα, αλλά είναι η επίσημη τακτική των εξετάσεων και του σχολικού βιβλίου. Αυτό δε σημαίνει ότι ο μαθητής δεν πρέπει πρώτα να μαθαίνει την καλή χρήση της αντίστοιχης αλγεβρικής ανισότητας και μόνο αν βοηθάει να την συσχετίζει με το σχήμα !

Την λύση αυτή έχει ως επίσημη λύση η ΚΕΕ, δεν έχω σκάνερ να τη στείλλω, και δεν ξέρω αν προτείνει και αλγεβρική λύση, μάλλον όχι όμως , διότι για να βρεις το μιγαδικό που πιάνει την ελάχιστη τιμή θέλει αρκετές ακόμα πράξεις. Το σκεπτικό του ερωτήματος ήταν καθαρά γεωμετρικό.Η εικόνα είναι θολή, δεν μπόρεσα για την ώρα να κάνω κάτι καλύτερο, αλλά βλέπετε τη λύση της ΚΕΕ. Τι περιθώρια έχει λοιπόν να παρέμβει ο καθηγητής - διορθωτής ; Αυτή είναι και η μόνη υπόδειξη και δω που τα λέμε είναι και η καλύτερη, αν βασιστούμε στο πνεύμα και στο ρόλο αυτών των ασκήσεων.

2013-11-6 mig-max-min6.PNG (310.26 KiB) Προβλήθηκε 1988 φορές

Αφού λοιπόν αυτό είναι το πνεύμα όλων των σχετικών ερωτημάτων, είναι κρίμα ο μαθητής που έχει δει τα θέματα των προηγουμένων ετών και βλέπει τη γεωμετρική αντιμετώπιση, να δει ξαφνικά να του πετάνε τη λύση στο καλάθι επειδή δεν άρεσε το Στεργίου και σε κάθε Στεργίου, που θα ήθελε δίπλα στη λύση και την απόδειξη της χρησιμοποιούμενης πρότασης ή θα ήθελε μόνο την αντιμετώπιση με άλγεβρα.

Σας χαιρετώ και καλή αντάμωση στην Καρδίτσα για ωραίες μαθηματικές και μη κουβεντούλες !

Μπ.

[S.E.Louridas]

Προσωπικά Μπάμπη με κάλυψες. Απλά και επειδή δεν διδάσκω το Μάθημα αυτό στην β-βάθμια Εκπαίδευση (Κατεύθυνση Β' Λυκείου στο βιβλίο της οποίας αναφέρεται , χωρίς να αποδεικνύεται η βασική πρόταση για την τυχούσα διάμετρο της έλλειψης για την οποία συζητήσαμε), μεταφέρω και προβληματισμούς είτε απόψεις που ακούγονται στον στίβο της Μαθηματικής "πιάτσας".

[Μπάμπης Στεργίου]

Προσωπικά Μπάμπη με κάλυψες. Απλά και επειδή δεν διδάσκω το Μάθημα αυτό στην β-βάθμια Εκπαίδευση (Κατεύθυνση Β' Λυκείου στο βιβλίο της οποίας αποδεικνύεται η βασική πρόταση για την τυχούσα διάμετρο της έλλειψης για την οποία συζητήσαμε), μεταφέρω και προβληματισμούς είτε απόψεις που ακούγονται στον στίβο της Μαθηματικής "πιάτσας".

Σωτήρη, στο βιβλίο γίνεται απλή αναφορά και τίποτα άλλο. Μας αρκεί βέβαια αυτό. Αλλά και να μην γίνονταν αναφορά , πάλι θα είχε ο μαθητής δικαίωμα να το χρησιμοποιήσει, διότι και ο σωστός σχεδιασμός μιας κωνικής προϋποθέτει καλή θεωρητική γνώση , οπότε πάλι το ''παρατηρούμε'' είναι στη βάση μαθηματικής απόδειξης.

Όλα ξεκινούν από την εφαρμογή του σχολικού. Αυτή δίνει το στίγμα. Όσο υπάρχει αυτή με τον τρόπο που δίνεται, όλες κατά την άποψή μου οι ασκήσεις και τα θέματα που έχουν τεθεί στις εξετάσεις είναι σύννομες και σωστά όλες οι λύσεις, εποπτικές και μη λαμβάνονται ως πλήρεις. Με τα προβλήματα μάλιστα ακροτάτων το σχήμα δίνει έναυσμα στη συμπλήρωση της λύσης, αφού διαφορετική η λύση είναι ελλειπής .

Να τονίσω επίσης , όπως εύστοχα επεσήμανες, ότι δεν πρόκειται για καμία αντιπαράθεση ή κάτι άλλο με κανέναν - ποτέ στη ζωή μου δεν το έχω κάνει - . Τρέφω απεριόριστο σεβασμό και εκτίμηση σε όλα τα μέλη που συμμετείχαν στη συζήτηση και ειδικά στο Γιάννη, που έχει για χρόνια συμμετοχή ως συντονιστής σε Βαθμ.Κέντρα και η γνώμη του είναι πολύτιμη. Με το Γιάννη , με τον οποίο έχουμε γενικά παρόμοιες απόψεις σε πολλά θέματα, είναι εύκολο να σηκώσουμε το ακουστικό και να τα πούμε δυο μας για ώρες, κάτι που κάνουμε κάθε φορά που θέλουμε να ανταλλάξουμε σκέψεις. Προτιμήσαμε όμως σκόπιμα να κάνουμε αυτό το διάλογο σε ανοικτή ακρόαση, για να βλέπουν τα νεότερα μέλη μας τους προβληματισμούς αλλά και την ευαισθησία με την οποία αντιμετωπίζουμε τα θέματα, ειδικά όταν αυτά έχουν να κάνουν με την αξιολόγηση των γραπτών και την τύχη των μαθητών μας.
Συχνά μάλιστα οι απόψεις μας συμπληρώνονται ή συνδιαμορφώνονται,με αμοιβαίους συμβιβασμούς αν χρειάζεται , κάτι που μας χαροποιεί και μας κάνει πιο χρήσιμους σε φίλους και συναδέλφους .

Μπ.

[STOPJOHN]

Mπάμπη και Σωτήρη καλησπέρα συμφωνώ με τους εύστοχους προβληματισμούς σας και τα προβλήματα στις βαθμολογίες δημιουργούνται όταν υπάρχουν ελλειπείς λύσεις και στα μέγιστα και ελάχιστα είναι συνηθισμένο φαινόμενο....πάντοτε με τους συναδέλφους συζητάμε αρκετά πρίν την βαθμολόγηση και κατά τη διάρκεια της ....μέσα απο τις διαφωνίες γινόμαστε σοφότεροι
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι οι μαθητές μας δύσκολα κατανοούν έννοιες μεγίστων και ελαχίστων αν και διδάσκονται μεσα και έξω από το σχολείο τις έννοιες ΑΛΛΑ ΚΥΡΙΩΣ ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ δηλαδή σήμερα επέμενα στον διαισθητικό ορισμό του ορίου και σχεδόν όλοι κοίταζαν με απορία ....ενώ στις ιδιότητες έλυναν ανετα τις ασκήσεις....χωρίς να κατανοούν τη θεωρία λύνουνε ασκήσεις ....είναι ένα πρόβλημα για τον Διδάσκοντα.........

Καλό απόγευμα

φιλικά

Γιάννης

[STOPJOHN]

Καλησπέρα, με καθυστέρηση...............να ευχηθώ στον Μπάμπη Στεργιου και στον Σιλουανό το βιβλίο τους να είναι καλοτάξιδο και να μας φωτίσει.....
Καλό βράδυ
Γιάννης