Συναρτησιακή εξίσωση (λγ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(2)=2

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Σ. Διονύσης · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε και για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Καλησπέρα. Εικόνα

Δίνω μια λύση με επιφυλάξεις.

Θέτουμε: $y:=1 ,x:=0\rightarrow f(0)=f(0)+f(0)\Leftrightarrow f(0)=0$

Θέτουμε: $y:=2 ,x:=1\rightarrow f(2)=2f(1)+f(2-2)\Leftrightarrow f(1)=1$

Θέτουμε: $y:=2\rightarrow f(2x)=2f(x)+f(2x-2x)\Leftrightarrow f(2x)=2f(x)$ και από μαθηματική επαγωγή θα είναι: $f(nx)=nf(x) ,\forall n\in\mathbb{N}$

Όμως η τελευταία είναι ειδική περίπτωση της $\displaystyle{f(x_1+x_2+...+x_n)=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)} \qquad\color{blue}(1)\color{black}$ , για x_1,x_2,...,x_n=x

Δηλαδή αν βρούμε τις συναρτήσεις που επαληθεύουν την (1) και την αρχική, αυτόματα θα έχουμε βρει και αυτές που επαληθεύον την ειδικότερη f(nx)=nf(x)}

με,ίσως, κάποιες επιπλέον συναρτήσεις τις οποίες θα πρέπει να απορρίψουμε. (Μεγαλύτερη οικογένεια συναρτήσεων Εικόνα

)

Στην (1) για $x_1=x , x_2=y , x_3,...,x_n=0 \rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y) ,\forall x,y\in\mathbb{R}\qquad\color{blue}(2)\color{black}$

Όμως:
$\displaystyle{0=f(0) = f(x+(-x)) = f(x)+ f(-x) \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)\quad ,x\in\mathbb{R}\color{red}\spadesuit\color{black}}$

H (2) για y:=-y

και λόγω της $\color{red}\spadesuit\color{black}$ γίνεται:

$\displaystyle{f(x-y)=f(x)-f(y) \quad ,x,y\in\mathbb{R}\color{red}\clubsuit\color{black} }$

Η αρχική λόγω της $\color{red}\clubsuit\color{black}$ γράφεται:

$\displaystyle{f(xy)=yf(x)+f(xy-xf(y))\Leftrightarrow f(xy)=yf(x)+f(xy)-f(xf(y))\Leftrightarrow f(xf(y))=yf(x) \qquad \color{blue}(3)\color{black}}$

και για $x:=1\rightarrow f(f(y))=y$ , άρα κατά τα γνωστά η

είναι επί και "1-1"

.

Θέτοντας στην (3) $y:=x\rightarrow f(xf(x))=xf(x)\Leftrightarrow f(x)=x \quad , \forall x\in\mathbb{R}$ η οποία επαληθεύει την αρχική.

Παρατήρηση: Τελικά δε βρήκαμε περισσότερες συναρτήσεις δηλαδή οι δυο οικογένειες έτυχε να συμπίπτουν.

#3

Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=305813

Συναρτησιακή εξίσωση (λγ)

Συναρτησιακή εξίσωση (λγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λγ)

Μέλη σε σύνδεση