Συγκλιση ακολουθιας

dement · #1

Εστω συναρτηση $f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ με συνεχη παραγωγο. Να μελετηθει ως προς τη συγκλιση η ακολουθια με γενικο ορο $\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) - n \int_0^1 f(x) dx$ και να βρεθει το οριο της, αν υπαρχει.

(Απο το Problems and solutions in Real Analysis, M. Hata)

Δημητρης Σκουτερης

#2

dement έγραψε:Εστω συναρτηση $f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ με συνεχη παραγωγο. Να μελετηθει ως προς τη συγκλιση η ακολουθια με γενικο ορο $\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) - n \int_0^1 f(x) dx$ και να βρεθει το οριο της, αν υπαρχει.

(Απο το Problems and solutions in Real Analysis, M. Hata)

Δημητρης Σκουτερης

Τα κύρια βήματα της ωραίας αυτής άσκησης είναι:

1) Γράγουμε το ολοκλήρωμα ως

$\sum_{k=1}^{n}{\int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)dx}$

2) Για κάποιο $\xi_k$ στο $[\frac {k-1}{n}, \frac {k}{n}]$
ισχύει $\int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)dx = \frac{1}{n}f(\xi_k)$

3) μαζεύοντας αντίστοιχους όρους στα δύο αθροίσματα, από το ΘΜΤ η δοθείσα παράσταση ισούται, για κατάλληλα $\xi_{k}{'}$ στο $[\frac {k-1}{n}, \frac {k}{n}]$ , με

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n}- \xi_k)f(\xi_{k}{''}) = \sum_{k=1}^{n} (\frac{\frac{k}{n}- \xi_k}{\frac{1}{n}}) \frac{1}{n}f(\xi_{k}{''})$ (*)

Τώρα, ο όρος $\frac{\frac{k}{n}- \xi_k}{\frac{1}{n}}$ τείνει, ως γνωστόν (π.χ. σημειώσεις Μπάμπη Στεργίου) στο 1/2, ενώ το $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}f(\xi_{k}{''})$ είναι το άθροισμα Riemann του $\int_{0}^{1}f{'}(x)dx}$ .

Τα δύο μαζί (και λίγη προσοχή στη λήψη ορίων) δίνει ότι το ζητούμενο όριο είναι
$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f{'}(x)dx}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Διόρθωση: Είχα ξεχάσει έναν παράγοντα στην (*). Τώρα το επανόρθωσα.
Η σωστή απάντηση είναι, όπως επισήμανε ο Αχιλλέας, το 1/2 αυτής που έγραψα αρχικά.

#3

Μήπως η απάντηση πρέπει να είναι $\frac{1}{2}\int_0^1 f'(x)dx$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Έχει δίκιο ο Αχιλλέας. Δίνω μια απάντηση που χρησιμοποιεί την ιδέα του Μιχάλη.

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^n f(k/n) - n \int_0^1 f(x) \; dx = n \sum_{k=1}^n\ \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( f(k/n) - f(x) \right) \; dx \leqslant}$
$\displaystyle{n \sum_{k=1}^n \max_{x \in [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]} f{'}(x) \int_{(k-1)/n}^{k/n} (k/n -x) \;dx = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \max_{x \in [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]} f{'}(x) \to \frac{1}{2}\int_0^1 f{'}(x) \; dx }$

Μα παρόμοιο τρόπο δουλεύουμε και για το κάτω φράγμα.

#5

achilleas έγραψε:Μήπως η απάντηση πρέπει να είναι $\frac{1}{2}\int_0^1 f'(x)dx$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα, έχεις δίκιο.

Είχα ξεχάσει έναν παράγοντα, τον $\frac{k}{n}-\xi_k$ . Τώρα το διόρθωσα.
Ευχαριστώ.

Φιλικά,

Μιχάλης

Συγκλιση ακολουθιας

Συγκλιση ακολουθιας

Re: Συγκλιση ακολουθιας

Re: Συγκλιση ακολουθιας

Re: Συγκλιση ακολουθιας

Re: Συγκλιση ακολουθιας

Μέλη σε σύνδεση