KATEΕ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΤΕΛ. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

parmenides51 · #1

ΚΑΤΕΕ = Κέντρα Ανωτέρας Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

Στελεχών Επιχειρήσεων

1. Να μελετήσετε το πρόσημο της αριθμητικής τιμής του τριωνύμου $\displaystyle{f(x)=\alpha x^2{\color{red}+}\beta x+\gamma}$
για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{x}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{\alpha\ne 0}$ .

2. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\left(\frac{1+x+x^2}{x}\right)^2=-4\left(2+x+\frac{1}{x}\right)}$ .

3. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{\frac{(x^2-9)(x+1)+(x-3)^2(x-1)}{(2x-1)(x-3)}>0}$

edit
προσθήκη προσήμου στο 1ο

Αποστόλης · #2

parmenides51 έγραψε:ΚΑΤΕΕ = Κέντρα Ανωτέρας Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

Στελεχών Επιχειρήσεων

3. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{\frac{(x^2-9)(x+1)+(x-3)^2(x-1)}{(2x-1)(x-3)}>0}$

$\displaystyle{\displaystyle{\chi \neq 3}\displaystyle{}$
$\displaystyle{ \displaystyle{\chi \neq \frac{1}{2}}}$

$\displaystyle{\frac{\left(\chi ^{2}-3^{2} \right)\left(\chi +1 \right)+\left(\chi -3 \right)^{2}\left(\chi -1 \right)}{\left(2\chi -1 \right)\left(\chi -3 \right)}}$ =
$\displaystyle{\frac{\left(\chi -3 \right)\left(\chi +3 \right)\left(\chi +1 \right)+\left(\chi -3 \right)^{2}\left(\chi -1 \right)}{\left(2\chi -1 \right)\left(\chi -3 \right)}}$ = $\displaystyle{\frac{\left(\chi -3 \right)\left[\left(\chi +3 \right)\left(\chi +1 \right)+\left(\chi -3 \right)(\chi -1) \right]}{\left(2\chi -1 \right)\left(\chi -3 \right)}}$ = $\displaystyle{\frac{\left(\chi +3 \right)\left(\chi +1 \right)+\left(\chi -3 \right)\left(\chi -1 \right)}{\left(2\chi -1 \right)}}$ = $\displaystyle{\frac{\chi ^{2}+\chi+3\chi +3 +\chi ^{2}-\chi -3\chi +3}{2\chi -1}}$ = $\displaystyle{\frac{2\chi ^{2}+6}{2\chi -1}}$

Paolos · #3

Περιορισμός: θα πρέπει $\displaystyle{\left( 2x-1\ne 0 \right)\wedge \left( x-3\ne 0 \right)\Leftrightarrow \left( x\ne \frac{1}{2} \right)\wedge \left( x\ne 3 \right)}$ .
Έχουμε ισοδύναμα:

$\displaystyle{\frac{({{x}^{2}}-9)(x+1)-{{(x-3)}^{2}}(x-1)}{(2x-1)(x-3)}>0}$
$\displaystyle{\frac{(x-3)(x+3)(x+1)-{{(x-3)}^{2}}(x-1)}{(2x-1)(x-3)}>0}$
$\displaystyle{\frac{\cancel{(x-3)}\left[ (x+3)(x+1)-(x-3)(x-1) \right]}{(2x-1)\cancel{(x-3)}}>0}$
$\displaystyle{\frac{(x+3)(x+1)-(x-3)(x-1)}{2x-1}>0}$
$\displaystyle{(2x-1)\left[ (x+3)(x+1)-(x-3)(x-1) \right]>0}$
$\displaystyle{(2x-1)({{x}^{2}}+x+3x+3-{{x}^{2}}+x+3x-3)>0}$
$\displaystyle{(2x-1)\cdot 8x>0}$
$\displaystyle{(2x-1)\cdot x>0}$
$\displaystyle{x<0\vee x>\frac{1}{2}}$ .
Λαμβάνοντας υπόψη τον περιορισμό, τελικά προκύπτει
$\displaystyle{x\in (-\infty ,0)\cup (\frac{1}{2},3)\cup (3,+\infty ).}$

Paolos · #4

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\left(\frac{1+x+x^2}{x}\right)^2=-4\left(2+x+\frac{1}{x}\right)}$ .

Περιορισμός: $\displaystyle{x\ne 0.}$

$\displaystyle{{{(\frac{1+x+{{x}^{2}}}{x})}^{2}}=-4(2+x+\frac{1}{x})}$
$\displaystyle{{{(\frac{1}{x}+1+x)}^{2}}=-4\left[ 1+\left( 1+x+\frac{1}{x} \right) \right]}$ .
Θέτουμε $\displaystyle{a = 1 + x + \frac{1}{x}}$
Τότε η τελευταία σχέση γίνεται:
$\displaystyle{{{a}^{2}}=-4(1+a)}$
$\displaystyle{{{a}^{2}}+4a+4=0}$
$\displaystyle{{{(a+2)}^{2}}=0}$
$\displaystyle{a=-2}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}+1+x=-2}$
$\displaystyle{x+{{x}^{2}}+1=-2x}$
$\displaystyle{{{x}^{2}}+3x+1=0}$
$\displaystyle{x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}$ , οι οποίες είναι δεκτές λύσεις.

KATEΕ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΤΕΛ. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

KATEΕ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΤΕΛ. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΤΕΛ. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΤΕΛ. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΤΕΛ. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Μέλη σε σύνδεση