ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

varv19 · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\frac{1}{x}-x+1$ με x>0

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης

β) Να δειχθεί ότι υπάρχει η αντίστροφη της

και να δειχθεί ότι η αντίστροφη είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η $f^{-1}$ είναι συνεχής να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{f^{-1}\left( x\right)-x}{x+f^{-1}\left(x \right)}$

kostas_zervos · #2

varv19 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\frac{1}{x}-x+1$ με

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης

β) Να δειχθεί ότι υπάρχει η αντίστροφη της και να δειχθεί ότι η αντίστροφη είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η $f^{-1}$ είναι συνεχής να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{f^{-1}\left( x\right)-x}{x+f^{-1}\left(x \right)}$

Η $f^{-1}$ μπορεί να βρεθεί εύκολα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

...άρα είναι συνεχής .... και η μονοτονία της προκύπτει εύκολα με παραγώγιση...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.

Christos.N · #3

varv19 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\frac{1}{x}-x+1$ με

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης

Έστω $\displaystyle{y \in R}$ τότε λύνοντας την εξίσωση $\displaystyle{f(x) = y}$ προκύπτει ότι, $\displaystyle{f(x) = y \Rightarrow \frac{1}{x} - x + 1 = y \Rightarrow x^2 + (y - 1)x - 1 = 0}$

Το τελευταίο τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = (y - 1)^2 + 4 > 0}$ γνήσια θετική, άρα το τριώνυμο έχει δύο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες.

Αρκεί να δείξουμε ότι μια από αυτές είναι θετική.
Έστω ότι και οι δύο ρίζες $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ , είναι αρνητικές τότε από τον τύπο του Vieta το γινόμενο τους είναι θετικό, άτοπο.

Συνεπώς για κάθε $\displaystyle{y \in R}$ υπάρχει $\displaystyle{x \in R^+}$ όπου $\displaystyle{f(x) = y}$ .

δηλαδή το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{R}$ .

Christos.N · #4

varv19 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\frac{1}{x}-x+1$ με

β) Να δειχθεί ότι υπάρχει η αντίστροφη της και να δειχθεί ότι η αντίστροφη είναι γνησίως φθίνουσα.

Θα δείξουμε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = y}$ έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{(0, + \infty )}$ για κάθε $\displaystyle{y \in R}$

$\displaystyle{ f(x) = y \Rightarrow \frac{1}{x} - x + 1 = y \Rightarrow x^2 + (y - 1)x - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{1 - y \pm \sqrt {4 + (y - 1)^2 } }}{2} \\ x > 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {4 + (y - 1)^2 } - (y - 1)}}{2} }$

Συνεπώς η συνάρτηση αντιστρέφεται με τύπο $\displaystyle{ f^{ - 1} (x) = \frac{{\sqrt {4 + (x - 1)^2 } - (x - 1)}}{2},x \in R }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Christos.N · #5

varv19 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\frac{1}{x}-x+1$ με

γ) Αν η $f^{-1}$ είναι συνεχής να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{f^{-1}\left( x\right)-x}{x+f^{-1}\left(x \right)}$

Προπαρασκευαστικά,
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{ - 1} (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4 + (x - 1)^2 } - (x - 1)}}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{2(\sqrt {4 + (x - 1)^2 } + (x - 1))}} = 0}$

με $\displaystyle{\frac{4}{{2(\sqrt {4 + (x - 1)^2 } + (x - 1))}} > 0}$

Άρα θέτοντας $\displaystyle{f^{ - 1} (x) = u}$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f^{ - 1} (x) - x}}{{f^{ - 1} (x) + x}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0^ + } \frac{{u - f(u)}}{{u + f(u)}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0^ + } \frac{{2u - 1 - \frac{1}{u}}}{{\frac{1}{u} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0^ + } \frac{{2u^2 - u - 1}}{{u + 1}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1 }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

varv19 · #6

Η Συνάρτηση

έχει πεδίο ορισμού το $A=\left(0,+\propto \right)$ και σύνολο τιμών το $f\left(A \right)=\left(-\propto, +\propto \right)$

Η συνάρτηση $f^{-1}$ έχει πεδίο ορισμού το $f\left(A \right)=\left(-\propto, +\propto \right)$
και σύνολο τιμών το $A=\left(0,+\propto \right)$ .

Όμως η $f^{-1}$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\left(-\propto, +\propto \right)$

άρα το σύνολο τιμών της είναι το $\left( \lim_ {x\rightarrow +\propto }f^{-1}\left(x \right),\lim_ {x\rightarrow -\propto }f^{-1}\left(x \right),\right)$ .

Επομένως $\lim_{x\rightarrow +\propto }f^{-1}\left(x \right)=0$

Θέτω $f^{-1}\left(x \right)=u\Leftrightarrow x=f\left(u \right)$

άρα $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f^{-1}\left(x \right)-x}{f^{-1}\left(x \right)+x}=\lim_{u\rightarrow 0 }\frac{u-f\left(u \right)}{u+f\left(u \right)}=\lim_{u\rightarrow 0 }\frac{2u^{2}-u-1}{u+1}=-1$

Christos.N · #7

Εναλλακτική λύση χρησιμοποιώντας την συνέχεια.

varv19 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=\frac{1}{x}-x+1$ με

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης

Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in (0, + \infty )}$

Τότε:
$\displaystyle{ x_1 < x_2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{x_1 }} > \frac{1}{{x_2 }} \\ - x_1 > - x_2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{x_1 }} - x_1 > \frac{1}{{x_2 }} - x_2 \Rightarrow \frac{1}{{x_1 }} - x_1 + 1 > \frac{1}{{x_2 }} - x_2 + 1 \Rightarrow f(x_1 ) > f(x_2 ) }$
Δείξαμε λοιπόν ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής άρα το σύνολο τιμών της θα είναι το $\displaystyle{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x)} \right) }$
υπολογίζοντας έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} - x + 1 = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1}{x} - x + 1 = + \infty \\ \end{array} }$

Άρα το σύνολο τιμών της είναι όλο το $\displaystyle{R}$

β) Να δειχθεί ότι υπάρχει η αντίστροφη της και να δειχθεί ότι η αντίστροφη είναι γνησίως φθίνουσα.

Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ,άρα "1-1"

συνεπώς αντιστρέφεται με εξ' ορισμού πεδίο ορισμού της αντίστροφης το σύνολο τιμών της

, δηλαδή το $\displaystyle{R}$ .

Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in R}$

τότε $\displaystyle{x_1 < x_2 \Rightarrow f(f^{ - 1} (x_1 )) < f(f^{ - 1} (x_2 )) \Rightarrow f^{ - 1} (x_1 ) > f^{ - 1} (x_2 )}$ άρα η αντίστροφη της

είναι γνησίως φθίνουσα.

γ) Αν η $f^{-1}$ είναι συνεχής να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{f^{-1}\left( x\right)-x}{x+f^{-1}\left(x \right)}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f^{ - 1} }$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της με εξ' ορισμού σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της

συνεπώς $\displaystyle{(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{ - 1} (x),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f^{ - 1} (x)) = (0, + \infty )}$ , άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{ - 1} (x) = 0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{h(x) = \frac{{x - f(x)}}{{x + f(x)}},x > 0}$

Τότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f^{ - 1} (x) - x}}{{f^{ - 1} (x) + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h(f^{ - 1} (x)) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0^ + } h(u) = ... = - 1 }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΟΡΙΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση