ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση $\displaystyle{\alpha^4-\beta^4+2\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)}$

2. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ οι ρίζες $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x^2-(\lambda+2)x+2=0}$
πληρούν την σχέση $\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2=5}$ ;

3. Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ εαν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,
εαν οι $\displaystyle{x,z,y}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και αληθεύει η ισότητα $\displaystyle{x+y+z=17}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση $\displaystyle{\alpha^4-\beta^4+2\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)}$

$\displaystyle{{\alpha ^4} - {\beta ^4} + 2\alpha \beta ({\alpha ^2} - {\beta ^2}) = ({\alpha ^2} - {\beta ^2})({\alpha ^2} + {\beta ^2}) + 2\alpha \beta ({\alpha ^2} - {\beta ^2}) = }$

$\displaystyle{({\alpha ^2} - {\beta ^2})({\alpha ^2} + {\beta ^2} + 2\alpha \beta ) = (\alpha - \beta )(\alpha + \beta ){(\alpha + \beta )^2} = (\alpha - \beta ){(\alpha + \beta )^3}}$

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ οι ρίζες $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x^2-(\lambda+2)x+2=0}$
πληρούν την σχέση $\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2=5};$

Από τύπους Vieta έχουμε $\displaystyle{{\rho _1} + {\rho _2} = \lambda + 2}$ και $\displaystyle{{\rho _1}{\rho _2} = 2}$ .

$\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2=5}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow {({\rho _1} + {\rho _2})^2} - 2{\rho _1}{\rho _2} = 5 \Leftrightarrow {(\lambda + 2)^2} - 4 = 5 \Leftrightarrow {\lambda ^2} + 4\lambda - 5 = 0}$ ,

απ' όπου $\displaystyle{\lambda = 1}$ ή $\displaystyle{\lambda = - 5}$ .

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ εαν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,
εαν οι $\displaystyle{x,z,y}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και αληθεύει η ισότητα $\displaystyle{x+y+z=17}$ .

Από υπόθεση είναι
$\displaystyle{2y = x + z,{z^2} = xy}$ και $\displaystyle{x+y+z=17}$ .
Από την πρώτη και τρίτη εξίσωση με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει άμεσα ότι $\displaystyle{y = \frac{{17}}{3}}$ .
Άρα $\displaystyle{x = \frac{{34}}{3} - z \Leftrightarrow {z^2} = \left( {\frac{{34}}{3} - z} \right) \cdot \frac{{17}}{3} \Leftrightarrow 9{z^2} + 51z - 578 = 0}$ , απ' όπου (όποιος αντέξει να κάνεις τις πράξεις χωρίς κομπιουτεράκι) βρίσκουμε $\displaystyle{z = \frac{{17}}{3}}$ ή $\displaystyle{z = - \frac{{34}}{3}}$ .

Οπότε έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{(x,y,z) = \left( {\frac{{17}}{3},\frac{{17}}{3},\frac{{17}}{3}} \right)}$ ή $\displaystyle{\left( {\frac{{68}}{3},\frac{{17}}{3}, - \frac{{34}}{3}} \right)}$

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση