ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#1

...δόθηκε σε μαθητή μας και αυτό που κατάφερα το δημοσιεύω...

Έστω $f:R\to R$ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει $f({{x}^{2}}-{{y}^{2}})=x\cdot f(x)-y\cdot f(y)$

για κάθε $x,y \in R$ με $f(1)=\alpha$ . Να βρεθεί ο τύπος της

ΛΥΣΗ

Για $\displaystyle{x=y=0}$ στην δοσμένη παίρνουμε $\displaystyle{f(0)=0}$

Για $\displaystyle{y=0}$ στην δοσμένη παίρνουμε $\displaystyle{f(x^2)=xf(x),\forall x\in R}$ τότε θέτοντας όπου

το

έχουμε

$\displaystyle{-xf(-x)=xf(x)}$ αφού και οι δυο παραστάσεις είναι ίσες με $\displaystyle{f(x^2)=f((-x)^2)}$ .

Προκύπτει λοιπόν $\displaystyle{x(f(x)+f(-x))=0\forall x\in R}$ .

Για $\displaystyle{x\ne 0 \Rightarrow f(-x)=-f(x)}$ σχέση που ισχύει και όταν $\displaystyle{x=0}$ αφού $\displaystyle{f(0)=0}$ άρα η

είναι περιττή.

Τώρα για x=0

στην δοσμένη παίρνουμε $f(-{{y}^{2}})=-yf(y),\,\,\forall y\in R$ και λόγω του ότι είναι περιττή

ισχύει ότι $yf(y)=f({{y}^{2}}),\,\,\,\,y\in R$

Έτσι επειδή έχουμε $xf(x)=f({{x}^{2}}),yf(y)=f({{y}^{2}})$ η δοσμένη γίνεται

$f(a-\beta )=f(a)-f(\beta ),\,\,\,\,\forall a,\beta \in [0,+\infty )$ (1).

Αν $\displaystyle{a<0\Rightarrow -a>0}$ όμοια και για το $\beta <0\Rightarrow -\beta >0$ οπότε λόγω της (1) για $-a,\,\,-\beta$

ισχύει $f(-a+\beta )=f(-a)-f(-\beta )\Rightarrow$

$-f(a-\beta )=-(f(a)-f(\beta ))\Rightarrow f(a-\beta )=f(\alpha )-f(\beta )$

Αν $a>0,\,\,\beta <0\Rightarrow \alpha -\beta >0$ οπότε λόγω της (1) για $a,\,\,\alpha -\beta$ ισχύει

$f(a-(\alpha -\beta ))=f(a)-f(\alpha -\beta )\Rightarrow$ $f(a-\beta )=f(a)-f(\beta )$

Αν $a<0,\,\,\beta >0\Rightarrow \beta -\alpha >0$ οπότε λόγω της (1) για $\beta ,\,\,\beta -\alpha$ ισχύει

$f(\beta -(\beta -\alpha ))=f(\beta )-f(\beta -\alpha )\Rightarrow$

$f(\beta -\alpha )=f(\beta )-f(\alpha )$ ή επειδή είναι περιττή $f(a-\beta )=f(a)-f(\beta )$

άρα τελικά ισχύει ότι $f(x-y)=f(x)-f(y),\,\,\,\,x,\,y\in R$ που για x=2y

προκύπτει ότι ισχύει

$f(y)=f(2y)-f(y),\,\,\,\,y\in R$ δηλαδή $f(2y)=2f(y),\,\,\,\,y\in R$

...βέβαια οι παραπάνω ιδιότητες θα μπορούσαν να ζητηθούν σαν ερωτήματα ξεχωριστα΄...το θέμα που

είναι

αν μπορούμε σχολικάνα προσδιορίσουμε τον τύπο της f που προφανώς είναι $f(x)=\alpha x,\,\,\,x\in R$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

chris · #2

Για Γ Λυκείου μάλλον ξεφεύγει πολύ. H άσκηση πρέπει να υπάρχει και αλλού στο φόρουμ αλλά δεν τη βρήκα αν και δεν έψαξα και πολύ.

$\boxed{f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y), \forall x \in \mathbb{R}}:(1)$

$\bullet$ Θα αποδείξουμε ότι η είναι προσθετική.
H (1)

για

δίνει:

και άρα λόγω της (1)

έχουμε: $\boxed{f(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2)}:(2)$
Επίσης: $\displaystyle xf(x)=f(x^2)=-xf(-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)$ για $x\neq 0$ ενώ f(0)=0

άρα $\boxed{f(-x)=-f(x),\forall x \in \mathbb{R}}:(3)$ .
Επομένως από τις (2),(3)

εύκολα λαμβάνουμε:
$\displaystyle {\color{red}\boxed{f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y \in \mathbb{R}}:(4)$

(η περιπτωσιολογία είναι αρκετά εύκολη. Από τη (2)

έχουμε:

για θετικά a,b

.
-Αυτή η σχέση για $a \rightarrow x+y,b\rightarrow y$ δίνει το ζητούμενο για x,y>0

.
-H ίδια σχέση για $a \rightarrow -y,b\rightarrow -x-y$ δίνει επίσης το ζητούμενο για x,y <0

με τη βοήθεια της (3)

.
-H ίδια σχέση για $a \rightarrow -χ,b\rightarrow y$ ή $a \rightarrow -y,b\rightarrow x$ δίνει επίσης το ζητούμενο όταν x>0

και

και το ανάποδο.
Άρα

προσθετική για κάθε x,y

πραγματικούς.)

$\bullet$ Βρίσκουμε την .
H (4)

για $y \rightarrow x-1$ δίνει:
$f(x)+f(x-1)=f(x+x-1)\stackrel{(3)}\Rightarrow f(x)-f(1-x)=f(2x-1)\Rightarrow$
$f(x)-f(1-x)=f(x^2-(1-x)^2)\stackrel{(1)}=xf(x)-(1-x)f(1-x)\Rightarrow$
$f(x)-f(1-x)=x\left[f(x)+f(1-x) \right]-f(1-x)\Rightarrow$
$\displaystyle f(x)=x\left[f(x)+f\left(1-x \right) \right]\stackrel{(4)}=xf(x+1-x)=f(1)x=ax$

dimitris.ligonis · #3

Λίγο διαφορετικά:

$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)\ (1)$

$(x,y\rightarrow 0),(1) \Rightarrow f(0)=0$

$(y\rightarrow 0),(1) \Rightarrow f(x^2)=xf(x) \ (2)$

$(y\rightarrow -x),(1)\Rightarrow f(-x)=-f(x), \forall x \in \mathbb{R^*} \overset{f(0)=0}{\Rightarrow} f:$ περιττή. (3)

$(1),(2) \Rightarrow f(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2) \Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y), \forall x,y \geq 0 \ (4)$

Για $x,y \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 0$ οπότε:

$(x\rightarrow x+y),(4) \Rightarrow \mathbf{f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y \geq 0}\ (5)$

$(x\rightarrow x+y),(1) \Rightarrow f(x^2+2xy)=(x+y)f(x+y)-yf(y) \overset{(5)}{\Rightarrow}$

$f(2xy)=yf(x)+xf(y) \overset{y\rightarrow \frac{1}{2}}{\Rightarrow} f(x)=2xf(\frac{1}{2}) \underset{(5)}{\overset{2f(\frac{1}{2})=f(1)}{\Rightarrow}} f(x)=ax , x \geq 0$

Όμως η f είναι περιττή άρα,
για $x>0 \Rightarrow -x<0$ και $f(-x)=-f(x)=-ax \Rightarrow f(u)=au , u<0$

Επομένως $f(x) =ax, \forall x \in \mathbb{R}$

#4

...Χρήστο και Δημήτρη ευχαριστώ γιά την ενασχόληση με το θέμα

και τις απαντήσεις που δώσατε

Βασίλης

#5

Δείτε και:
viewtopic.php?p=147907#p147907

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση