Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ »

Δίνεται κύκλος \left( O \right) (κέντρου O) και έστω A,B δύο σημεία του με \left( {AB} \right) = a (γνωστό). Έστω επίσης I το μέσο της AB και ας είναι H το ένα εκ

των κοινών σημείων της μεσοκάθετης της AB με τον \left( O \right). Αν M είναι τυχόν σημείο του \left( O \right) και P,P' τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου

της γωνίας \angle M του τριγώνου \vartriangle MAB και \left( K \right) ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle MPP' τότε:
[attachment=0]Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου.png[/attachment]
i) Να βρεθούν οι : D_{_{\left( K \right)}}^O και D_{_{\left( O \right)}}^K, όπου D_{_{\left( K \right)}}^O,D_{_{\left( O \right)}}^K οι δυνάμεις των O ως προς τον \left( K \right) και του K ως προς τον \left( O \right) αντίστοιχα.

ii) Επίσης να βρεθούν οι : D_{_{\left( K \right)}}^I,D_{_{\left( K \right)}}^H,D_{_{\left( O \right)}}^I,D_{_{\left( O \right)}}^H.

iii) Να αποδείξετε ότι ο ριζικός άξονας MM' των κύκλων \left( O \right) και \left( K \right) διέρχεται από γνωστό σημείο (ανεξάρτητα από τη θέση του σημείου M \in \left( O \right))

Στάθης
Συνημμένα
Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου.png
Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου.png (31.05 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Αλεξίνοος
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 16, 2013 8:12 pm

Re: Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αλεξίνοος »

Θεωρούμε κύκλον (O), μία διάμετρό του, την HZ, και μία χορδή του, την AB, κάθετον επί την HZ εις το σημείο I.
Η δύναμη του I ως προς τον κύκλο (O) είναι ίση προς (IH)(IZ).
Η δύναμη του H ως προς τον κύκλο (O) είναι ίση προς 0.
13_11_28_a.PNG
13_11_28_a.PNG (8.36 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Έστω M, τυχόν σημείο του (O) (κείμενο μετά του H προς το αυτό μέρος της AB) και P και P' τα κοινά σημεία των MZ και MH μετά της AB, αντιστοίχως.
Θεωρούμε τον κύκλο (K), διαμέτρου PP' και κέντρου K .
Τα σημεία A, B, P, P', αποτελούν αρμονική σημειοσειρά, οπότε:
Η δύναμη του I ως προς τον κύκλο (K) είναι ίση προς AI^2.
Η δύναμη του K ως προς τον κύκλο (O) είναι ίση προς KP^2.
Η δύναμη του O ως προς τον κύκλο (K) είναι ίση προς OK^2 - KM^2.
Θεωρούμε τον κύκλο (R), τον περιγεγραμμένο του τετραπλεύρου IPMH και τον κύκλο (R') τον περιγεγραμμένο του τετραπλεύρου ZIMP' (γωνίες στο I και το M: ορθές), οπότε, συμπεραίνουμε ότι:
Η δύναμη του H ως προς τον κύκλο (K) είναι ίση προς (HI)(HZ).
Η δύναμη του Z ως προς τον κύκλο (K) είναι ίση προς (ZI)(ZH).
Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι:
Εάν δια της αυτής διαδικασίας θεωρήσουμε ένα δεύτερο κύκλο, τον (K'), ο ριζικός άξων των (K) και (K') θα είναι η ευθεία ZH (κάθετος επί την διάκεντρο KK').
Το σημείο εις το οποίο οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O), (K) και (O), (K'), τέμνουν την ZH είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων (O), (K) και (K').
13_11_28_b.PNG
13_11_28_b.PNG (9.82 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Ήδη, θεωρούμε του κύκλους (K), (K') και (K'') ληφθέντας διά της προηγουμένης διαδικασίας.
Οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O), (K') και (K'') τέμνονται επί της ZH εις το σημείο N (ριζικό κέντρο).
Οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O), (K'') και (K) τέμνονται επί της ZH εις το σημείο N'.
Οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O), (K) και (K') τέμνονται επί της ZH εις το σημείο N''.
Εάν το N ήταν διάφορον του N', τότε ο ριζικός άξων των κύκλων (O) και (K'') θα έτεμνε την ZH σε δύο σημεία διάφορα αλλήλων.
Παρατήρηση:
Προφανώς, το σημείον N, είναι το σημείο καθ΄ ο τέμνει την ZH η εφαπτομένη του κύκλου (O) εις το B.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης