Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω $\displaystyle{a,b,c \in R}$ .
Αν $\displaystyle{a \eta \mu (2009x) + b \eta \mu (2010x) \le c \eta \mu (2011x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ , να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{c = \frac{{2009a + 2010b}}{{2011}}}$

Φιλικά Χρήστος

#2

Βγαίνει με Fermat

#3

Είναι Τριγωνομετρία ;;;
Γειά σας
Η απάντηση στο ερώτημα που επέλεξε σαν τίτλο ο Χρήστος είναι (αν δεν έχω λάθος στις πράξεις) ναι!
Mε $f\left( x\right) =a\eta \mu \left( 2009x\right) +b\eta \mu \left( 2010x\right) -c\eta \mu \left( 2001x\right)$
έχουμε ότι για όλα τα

είναι $f\left( x\right) \leq 0$
'Εχουμε:
$f\left( \frac{\pi }{2}\right) =\allowbreak a-c$
$f\left( \frac{3\pi }{2}\right) =\allowbreak -a+c$
'Αρα
$\boxed{c=a}$
$f\left( \frac{\pi }{4}\right) =\allowbreak \frac{1}{2}a\sqrt{2}+b-\frac{1}{2}c\sqrt{2}=\allowbreak b$
$f\left( \frac{3\pi }{4}\right) =\allowbreak -b$
'Αρα
$\boxed{b=0}$
$f\left( \frac{\pi }{3}\right) =\allowbreak -\frac{1}{2}a\sqrt{3}$
$f\left( \frac{\pi }{6}\right) =\allowbreak \frac{3}{2}a$
'Aρα
$\boxed{a=c=0}$
Μαυρογιάννης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Καλημέρα , μία ακόμη ιδέα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

Οι τρόποι του Ροδόλφου και του Νίκου, ήταν μία ευχάριστη έκπληξη. Δεν τους είχα είχα υπ' όψιν, διότι ήμουν κολημμένος στα όρια.
Aυτός είναι ο λόγος της επιλογής του συγκεκριμένου topic.
Ο τρόπος του Ροδόλφου, είναι δυνατόν να μη χρησιμοποιηθεί, αφού το Θεώρημα Fermat, δεν είναι ακόμα γνωστό.
Με τον τρόπο του Νίκου, όμως, ο οποίος χρησιμοποιεί Β΄Λυκείου και γιατί όχι Α΄Λυκείου, τι γίνεται;
Πρόκειται για ανατροπή των σχεδίων μου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μία άλλη προσέγγιση, όπως του Χρήστου.
Έχουμε:
$\displaystyle{2009a\frac{{\eta \mu (2009x)}}{{2009x}} + 2010b\frac{{\eta \mu (2010x)}}{{2010x}} <= 2011\frac{{\eta \mu (2011x)}}{{2011x}},x \in (0, + \infty )}$
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [2009a\frac{{\eta \mu (2009x)}}{{2009x}} + 2010b\frac{{\eta \mu (2010x)}}{{2010x}}] = 2009a + 2010b}$
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2011ca\frac{{\eta \mu (2009x)}}{{2009x}}) = 2011c}$
Άρα, $\displaystyle{2009a + 2010b \le 2011c}$
Αντίστοιχα, παίρνοντας το πλευρικό όριο στο 0-,προκύπτει: $\displaystyle{2009a + 2010b \ge 2011c}$
Άρα, $\displaystyle{2009a + 2010b = 2011c}$

Φιλικά Χρήστος

Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Re: Είναι Τριγωνομετρία ;;;

Μέλη σε σύνδεση