ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

parmenides51 · #1

ΠΟΛΥΤ(ΕΧΝΕΙΟ) ΘΕΣΣ(ΑΛΟΝΙΚΗΣ)

1. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ έχει η εξίσωση $\displaystyle{\sigma(x)=x^4-(\lambda +3)x^2+\lambda^2=0}$ έχει ρίζες πραγματικές;
Να ορίσετε τότε το $\displaystyle{ \lambda}$ ώστε οι η εξίσωση να έχει ρίζες διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

2. Εαν $\displaystyle{\xi}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0 }$ , να δειχτεί ότι $\displaystyle{|\xi|<\frac{|\alpha|+|\beta|+|\gamma|}{|\alpha|}}$

3. Δυο κινητά αναχωρούν ταυτοχρόνως από δυο τόπους $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ κινούμενα προς την ίδια φορά. Το πρώτο από αυτά έχει αρχική ταχύτητα $\displaystyle{30}$ χιλιόμετρα την ώρα. Στο τέλος κάθε ώρας, αυξάνει την ταχύτητα του κατά $\displaystyle{10}$ χιλιόμετρα. Το δεύτερο έχει ταχύτητα $\displaystyle{18}$ χιλιόμετρα την ώρα και στο τέλος κάθε ώρας αυξάνει την ταχύτητά του κατά $\displaystyle{12}$ χιλιόμετρα. Ζητείται να βρεθεί σε ποια ώρα θα συναντηθούν τα δυο κινητά, εαν η απόσταση των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι $\displaystyle{38}$ χιλιόμετρα.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Εαν $\displaystyle{\xi}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0 }$ , να δειχτεί ότι $\displaystyle{|\xi|<\frac{|\alpha|+|\beta|+|\gamma|}{|\alpha|}}$

εδώ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:ΠΟΛΥΤ(ΕΧΝΕΙΟ) ΘΕΣΣ(ΑΛΟΝΙΚΗΣ)

1. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ έχει η εξίσωση $\displaystyle{\sigma(x)=x^4-(\lambda +3)x^2+\lambda^2=0}$ έχει ρίζες πραγματικές;
Να ορίσετε τότε το $\displaystyle{ \lambda}$ ώστε οι η εξίσωση να έχει ρίζες διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

Κλασσικό και όμορφο θέμα!!!

Αν τεθεί $x^{2}=y\geq 0$ , η εξίσωση γράφεται
$y^{2}-\left(\lambda +3 \right)y+\lambda ^{2}=0.$ .

H δοσμένη εξίσωση έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες αν και μόνον αν η τροποποιημένη έχει δύο πραγματικές , άνισες και θετικές ρίζες.
Αυτό όμως συμβαίνει αν και μόνον αν
$\Delta \succ 0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow -1\prec \lambda \prec 3$

και
$P\succ 0\Leftrightarrow \lambda ^{2}\succ 0\Leftrightarrow \lambda \neq 0$
και
$S\succ 0\Leftrightarrow \lambda +3\succ 0\Leftrightarrow \lambda \succ -3$
δηλαδή η οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $\lambda$ που αποτελεί λύση στο θέμα οφείλει να ανήκει στο
$\left(-1,0 \right)\bigcup{\left(0,3 \right)}$

Πάμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου που θέλουμε.
Έστω $-x_{1},-x_{2},x_{2},x_{1}$ oι τέσσερις ρίζες της δοθείσης διτετράγωνης γραμμένες σε αύξουσα σειρά.
Αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνον αν $x_{1}=3x_{2}$
Iσχύει
$x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=\lambda +3\Leftrightarrow$

$\left(3x_{2} \right)^{2}+x^{2}_{2}=\lambda +3\Leftrightarrow$

$10x^{2}_{2}=\lambda +3\Leftrightarrow$

$x^{2}_{2}=\frac{\lambda +3}{10}$

Επίσης ισχύει ότι
$x^{2}_{1}\cdot x^{2}_{2}=\lambda ^{2}\Leftrightarrow$

$\left(3x_{2} \right)^{2}\cdot x^{2}_{2}=\lambda ^{2}\Leftrightarrow$

$9x^{2}_{2}x^{2}_{2}=\lambda ^{2}\Leftrightarrow$

$9\left(\frac{\lambda +3}{10} \right)^{2}=\lambda ^{2}$

Δε θα σας κουράσω με άλλες πράξεις , απλά αναφέρω ότι όποιος λύσει την εξίσωση που μας προέκυψε βρίσκει δυο δεκτές τιμές : $\lambda =\frac{-9}{13}$ και
$\lambda =\frac{9}{7}$

#4

parmenides51 έγραψε:ΠΟΛΥΤ(ΕΧΝΕΙΟ) ΘΕΣΣ(ΑΛΟΝΙΚΗΣ) 3. Δυο κινητά αναχωρούν ταυτοχρόνως από δυο τόπους $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ κινούμενα προς την ίδια φορά. Το πρώτο από αυτά έχει αρχική ταχύτητα $\displaystyle{30}$ χιλιόμετρα την ώρα. Στο τέλος κάθε ώρας, αυξάνει την ταχύτητα του κατά $\displaystyle{10}$ χιλιόμετρα. Το δεύτερο έχει ταχύτητα $\displaystyle{18}$ χιλιόμετρα την ώρα και στο τέλος κάθε ώρας αυξάνει την ταχύτητά του κατά $\displaystyle{12}$ χιλιόμετρα. Ζητείται να βρεθεί σε ποια ώρα θα συναντηθούν τα δυο κινητά, εαν η απόσταση των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι $\displaystyle{38}$ χιλιόμετρα.

Στην αρχή, το πρώτο κινητό βρίσκεται στην θέση

, το δεύτερο στην θέση

, όπου ο δεύτερο προηγείται από το πρώτο κατά AB=38km

Μετά από μία ώρα, το πρώτο θα βρίσκεται στην θέση A_1

, το δεύτερο στην θέση B_1

, και αφού A_1 B_1 =(38+18)-30=26Km

, (διότι η ταχύτητα του πρώτου είναι 30Km/h

, ενώ του δεύτερου 18Km/h

), άρα το δεύτερο εξακολουθεί να προηγείται

Μετά μία ακόμα ώρα, το πρώτο θα βρίσκεται στην θέση A_2

, το δεύτερο στην θέση B_2

, και αφού A_2 B_2=(26+30)-40=16Km

, άρα το δεύτερο εξακολουθεί να προηγείται του πρώτου.

Μετά μία ακόμα ώρα, το πρώτο θα βρίσκεται στην θέση A_3

, το δεύτερο στην θέση B_3

, και αφού A_3 B_3 =(16+42)-50=8Km

, άρα το δεύτερο εξακολουθεί να προηγείται του πρώτου.

Μετά μία ακόμα ώρα, το πρώτο θα βρίσκεται στην θέση A_4

, το δεύτερο στην θέση B_4

, και αφού A_4 B_4 =(8+54)-60=2Km

, άρα το δεύτερο
εξακολουθεί να προηγείται του πρώτου.

Μετά μία ακόμα ώρα, το πρώτο θα βρίσκεται στην θέση A_5

, το δεύτερο στην θέση B_5

, και αφού A_5 B_5 =(2+66)-70 =-2<0

, αυτό σημαίνει ότι τώρα προηγείται το πρώτο. Δηλαδή σε αυτήν την φάση, έχει προηγηθεί η συνάντηση.
Ας υποθέσουμε ότι όταν τα κινητά ευρίσκοντο στις θέσεις A_4 , B_4

, με

, συνεχίζοντας την κίνησή τους με ταχύτητες 70Km/h

και

, θα συναντηθούν σε μια θέση

, ύστερα από χρόνο

ώρες.
Τότε θα έχουμε: A_4 T=70t

και

και με αφαίρεση κατά μέλη, θα έχουμε: $\displaystyle{A_4 T-B_4 T=4t\Rightarrow 2=4t\Rightarrow t=0,5h}$

Άρα ο συνολικός χρόνος που απαιτήθηκε για την συνάντησή τους, είναι 4,5

ώρες.

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Μέλη σε σύνδεση